a) Sơ đồ chung các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y=f(x)\):

– Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số

– Bước 2: Khảo sát sự biến thiên: 

+ Xét chiều biến thiên của hàm số:

+ Tính đạo hàm \(f'(x)\). 

+ Tìm các điểm mà tại đó \(f'(x)=0\) hoặc không xác định.

+  Xét dấu đạo hàm \(f'(x)\) và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

+ Tìm cực trị của hàm số.

+ Tính các giới hạn \(\lim_{x\rightarrow +\infty }y,\lim_{x\rightarrow -\infty }y\) và các giới hạn có kết quả là vô cực (\(= \pm \infty\)), tìm các đường tiệm cận (nếu có)

– Bước 3: Vẽ đồ thị

+ Xác định các điểm đặc biệt: giao với Ox, Oy điểm có tọa độ nguyên.

+ Nêu tâm đối xứng, trục đối xứng (nếu có).

b) Chú ý

– Đồ thị hàm số bậc ba nhận điểm \(I(x_0,f(x_0))\) với \(x_0\) là nghiệm phương trình \(f”(x_0)=0\) làm tâm đối xứng.

– Đồ thị hàm số phân thức bậc nhất/bậc nhất nhận giao của hai tiệm cận làm tâm đối xứng.

– Đồ thị hàm số lẻ nhận \(O(0;0)\) làm tâm đối xứng.

– Đồ thị hàm số chẵn nhận Oy làm trục đối xứng.

a) Các dạng đồ thị hàm số bậc ba: \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\left( {a \ne 0} \right)\)

b) Các dạng đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương: \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\left( {a \ne 0} \right)\)

c) Các dạng đồ thị hàm số phân thức bậc nhất/bậc nhất: \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\;(c \ne 0,\;ad – bc \ne 0)\)