1.1. Lũy thừa với số mũ nguyên
– Ở cấp Trung học cơ sở, chúng ta đã biết luỹ thừa với số mũ tự nhiên:
\[a^n = \underbrace{a\cdot a\cdots a}_{n\text{ thừa số}}, \, a^0=1 (a\ne 0).\]
– Với n là một số nguyên dương, a là số thực khác 0, lũy thừa của a với số mũ -n xác định bởi:
|
\[ a ^{-n} = {1\over a^n}.\] |
Chú ý:
+) \(a^0=1 \) với mọi \(a\in R, a\ne 0\).
+) \(0^0\) và \(0^{-n} (n \in N)\) không có nghĩa.
1.2. Căn bậc n
|
Cho số nguyên dương n (n ≥ 2) và số thực b bất kì. Nếu có số thực a sao cho \[a^n=b\] thì a được gọi là một căn bậc n của b. |
Chú ý: Ở cấp Trung học cơ sở ta đã biết:
+) Nếu b > 0 thì b có hai căn bậc hai, kí hiệu là \(\sqrt b\) (gọi là căn bậc hai số học của b) và \(-\sqrt b\);
+) Số 0 chỉ có duy nhất một căn bậc hai là chính nó;
+) Nếu b < 0 thì b không có căn bậc hai nào;
+) Mọi số thực b có duy nhất một căn bậc ba, kí hiệu là \(\sqrt[3] b\).
Mở rộng kết quả này, ta có:
Cho n là số nguyên dương (n ≥ 2), b là số thực bất kì. Khi đó:
– Nếu n là số chẵn thì:
+ b < 0: không tồn tại căn bậc n của b.
+ b=0): có một căn bậc n của b là 0.
+ b > 0): có hai căn bậc n của b đối nhau, kí hiệu giá trị dương là \(\sqrt[n] b\) và giá trị âm là \(-\sqrt[n] b\).
– Nếu n là số lẻ thì có duy nhất một căn bậc n của b, kí hiệu \(\sqrt[n] b\).
Chú ý:
+) Nếu n chẵn thì căn thức \(\sqrt[n] b\) có nghĩa chỉ khi b > 0.
+) Nếu n lẻ thì căn thức \(\sqrt[n] b\) luôn có nghĩa với mọi số thực b.
Ta có các tính chất sau đây (với điều kiện các căn thức đều có nghĩa):
1.3. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ
|
Cho số thực a dương và số hữu tỉ \(r = \frac{m}{n}\) trong đó m là một số nguyên và n là số nguyên dương. Luỹ thừa của a với số mũ r, kí hiệu là \(a^r\), xác định bởi \[{a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}.\] |
1.4. Lũy thừa với số mũ thực
|
Cho a là số thực dương và \(\alpha\) là một số vô tỉ. Xét dãy số hữu tỉ (\(r_n\) ) mà \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {r_n} = \alpha \). Luỹ thừa của số thực dương a với số mũ \(\alpha\), kí hiệu là \(a^\alpha\). \[{a^\alpha } = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {a^{{r_n}}}.\] |
Chú ý: \({1^\alpha } =1\) với mọi \(\alpha \in R\).
1.5. Tính chất của phép tính lũy thừa
Phép tính luỹ thừa với số mũ thực có tính chất tương tự như luỹ thừa với số mũ tự nhiên.
