1.1. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Trên đường tròn lượng giác, gọi M là điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo a. Khi đó:

– Tung độ \(y_M\) của điểm M được gọi là sin của \(\alpha\), kí hiệu là sin\(\alpha\).  – Hoành độ \(x_M\) của điểm M được gọi là côsin của \(\alpha\), kí hiệu là cos\(\alpha\).  – Nếu \(x_M\) ≠ 0 thì tỉ số \({y_M \over x_M} ={\sin \alpha \over \cos \alpha}\) được gọi là tang của \(\alpha\), kí hiệu là tan\(\alpha\).  – Nếu \(y_M\) ≠ 0 thì tỉ số \({x_M \over y_M} ={\cos \alpha \over \sin \alpha}\) được gọi là côtang của \(\alpha\), kí hiệu là cot\(\alpha\).  – Các giá trị sin\(\alpha\), cos\(\alpha\), tan\(\alpha\), cot\(\alpha\) được gọi là các giá trị lượng giác của \(\alpha\).

 

Chú ý:

+) Ta gọi trục hoành là trục cô sin, còn trục tung là trục sin.

  – Trục As có gốc ở điểm (1;0) và song song với trục sin (Hình 3a) gọi là trục tang. Nếu đường thẳng OM cắt trục tang thì tung độ của giao điểm đó chính là tan\(\alpha\).

  – Trục Bt có gốc ở điểm B(0; 1) và song song với trục côsin (Hình 3b) gọi là trục cô tang. Nếu đường thẳng OM cắt trục côtang thì hoành độ của giao điểm đó chính là cot\(\alpha\).

+) sin\(\alpha\) và cos\(\alpha\) xác định với mọi \(\alpha \in \mathbb{R}\).

     tan\(\alpha\) chỉ xác định khi \(\alpha\ne {\pi\over 2} + k\pi, (k\in \mathbb{Z})\).

     cot\(\alpha\) chỉ xác định khi \(\alpha\ne {\pi} + k\pi, (k\in \mathbb{Z})\).

+) Với mọi góc lượng giác \(\alpha\) và số nguyên k, ta có

\(\sin (\alpha +k2\pi)=\sin \alpha\);

\(\cos (\alpha +k2\pi)=\cos \alpha\);

\(\tan (\alpha +k\pi)=\tan \alpha\);

\(\cot (\alpha +k\pi)=\cot \alpha\).

+) Giá trị lượng giác của một số góc \(\alpha\) đặc biệt với \(0\le \alpha \le {\pi \over 2}\) (hay \(0^0\le \alpha \le 90^0\)) như sau:

Sử dụng bảng trên và Hình 4, ta có thể xác định được giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt khác.

 

1.2. Tính giá trị lượng giác của một góc bằng máy tính

Ta có thể tính giá trị lượng giác của một góc lượng giác bất kì bằng máy tính cầm tay. Lưu ý trước khi tính, cần chọn đơn vị đo góc như sau:

– Lần lượt ấn các phím  và để màn hình hiện lên bảng lựa chọn đơn vị đo góc.

– Tiếp tục ấn phím  để chọn đơn vị độ (Degree) hoặc phím  để chọn đơn vị radian.

– Ấn các phím để vào chế độ tính toán.

 

1.3. Hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác của một góc lượng giác

Ta có các hệ thức sau liên hệ giữa các giá trị lượng giác của cùng một góc lượng giác.

\(\begin{array}{l} \bullet \,\,{\sin ^2}a + {\cos ^2}a = 1\\ \bullet \,\, 1 + {\tan ^2}a = \frac{1}{{{{\cos }^2}a}}\left( {a \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z} \right)\\ \bullet \,\,1 + {\cot ^2}a = \frac{1}{{{{\sin }^2}a}}\left( {a \ne k\pi ,k \in Z} \right)\\ \bullet \,\, \tan a.\cot a = 1 \end{array}\)

 

1.4. Giá trị lượng giác của các góc lượng giác có liên quan đặc biệt

– Hai góc đối nhau: a và – a.

\(\cos \left( { – a} \right) = \cos a\\ \sin \left( { – a} \right) = – \sin a\\ \tan \left( { – a} \right) = – \tan a\\ \cot \left( { – a} \right) = – \cot a.\)

– Hai góc hơn kém nhau\(\pi\): a và \({\pi} { a} \).

\(\sin \left(\pi {+ a} \right) = – \sin a\\ \cos \left(\pi { + a} \right) = -\cos a\\ \tan \left(\pi {+a} \right) = \tan a\\ \cot \left(\pi {+ a} \right) = \cot a.\)

– Hai góc bù nhau: a và \(\pi { – a}\).

\(\sin \left(\pi { – a} \right) = \sin a\\ \cos \left(\pi { – a} \right) = -\cos a\\ \tan \left(\pi { – a} \right) = – \tan a\\ \cot \left(\pi { – a} \right) = – \cot a.\)

– Góc phụ nhau: a và \({\pi \over 2} { – a} \).

\(\sin \left({\pi \over 2} { – a} \right) = \cos a\\ \cos \left({\pi \over 2} { – a} \right) = \sin a\\ \tan \left({\pi \over 2} { – a} \right) = \cot a\\ \cot \left({\pi \over 2} { – a} \right) = \tan a.\)