1.1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
a) Khái niệm giới hạn tại một điểm
|
Giả sử (a, b) là một khoảng chứa điểm \(x_0\) và hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng (a, b), có thể trừ điểm \(x_0\). Ta nói hàm số \(y = f(x)\) có giới hạn là số L khi x dần tới \(x_0\) nếu với dãy số (\(x_n\)) bất kì, \(x_n\in (a, b)\) ,\(x_n \ne x_0\) và \(x_n \to x_0\), ta có \(f(x_n) \to L\). Kí hiệu: \(\lim \limits_{x \to {x_0} }f(x) = L\) hay \(f(x) \to L\) khi \(x_n \to x_0\). |
Tương tự đối với dãy số, ta có các quy tắc tính giới hạn của hàm số tại một điểm như sau:
|
– Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {f(x)} = L, \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {g(x)} =M\) thì + \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [f(x) + g(x)] = L + M\) + \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [f(x) – g(x)] = L – M\) + \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [f(x).g(x)] = L.M\) + \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{f(x)}}}{{{g(x)}}} = \frac{L}{M}{\rm{ (}}M \ne 0)\) – Nếu \({f(x)} \ge 0\) với mọi \(x\in (a, b)\backslash\{x_0\}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {f(x)} = L\) thì \(L\ge 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {{f(x)}} = \sqrt L\) |
b) Khái niệm giới hạn một bên
|
– Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên \(({x_0};b)\). Số \(L\) gọi là giới hạn bên phải của hàm số \(y = f(x)\) khi \(x \to {x_0}\) nếu với mọi dãy \(({x_n})\) thỏa mãn \({x_0} < {x_n} < b\) và \({x_n} \to {x_0}\) thì ta có: \(f({x_n}) \to L\). Kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x) = L\). – Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên \((a;{x_0})\). Số \(L\) gọi là giới hạn bên trái của hàm số \(y = f(x)\) khi \(x \to {x_0}\) nếu với mọi dãy \(({x_n})\) thỏa mãn \(a < {x_n} < {x_0}\) và \({x_n} \to {x_0}\) thì ta có: \(f({x_n}) \to L\). Kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } f(x) = L\). |
Chú ý:
1.2. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
|
– Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((a; +\infty)\). Ta nói hàm số \(y = f(x)\) có giới hạn là số L khi \(x \to +\infty\) nếu với dãy số (\(x_n\)) bất kì, \(x_n>a\) và \(x_n \to +\infty\), ta có \(f(x_n) \to L\). Kí hiệu: \(\lim \limits_{x \to +\infty }f(x) = L\) hay \(f(x) \to L\) khi \(x \to +\infty\). – Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((-\infty; b)\). Ta nói hàm số \(y = f(x)\) có giới hạn là số L khi \(x \to -\infty\) nếu với dãy số (\(x_n\)) bất kì, \(x_n>a\) và \(x_n \to -\infty\), ta có \(f(x_n) \to L\). Kí hiệu: \(\lim \limits_{x \to -\infty }f(x) = L\) hay \(f(x) \to L\) khi \(x \to -\infty\). |
Nhận xét:
+ Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm cũng đúng cho giới hạn hữu hạn tại vô cực.
+ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } c = c\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } c =c\) (với \(c\) là hằng số).
+ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{{x^k}}} = 0\) với \(k \in \mathbb{N}^*\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{1}{{{x^k}}} = 0\) với \(k \in \mathbb{N}^*\).
1.3. Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm
a) Giới hạn vô cực
|
Giả sử (a, b) là một khoảng chứa \(x_0\) và hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng (a, b)\(\backslash \{x_0\}\). – Ta nói hàm số \(y = f(x)\) có giới hạn \(+\infty\) khi \(x\to x_0\) nếu với dãy số (\(x_n\)) bất kì, \(x_n\in (a, b)\backslash \{x_0\}\) và \(x_n \to x_0\), ta có \(f(x_n) \to +\infty\). Kí hiệu: \(\lim \limits_{x \to {x_0} }f(x) = +\infty \) . – Ta nói hàm số \(y = f(x)\) có giới hạn \(-\infty\) khi \(x\to x_0\) nếu \(\lim \limits_{x \to {x_0} }[-f(x)] = +\infty \). Kí hiệu: \(\lim \limits_{x \to {x_0} }f(x) = -\infty \) . |
b) Một số quy tắc tính giới hạn vô cực
Chú ý: Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn không còn đúng cho giới hạn vô cực.
Ta có một số quy tắc tính giới hạn của tích và thương hai hàm số khi một trong hai hàm số đó có giới hạn vô cực.
Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x)g(x).
Quy tắc tìm giới hạn của thương \(\dfrac{{{f(x)}}}{{{g(x)}}}\).
