Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c, ta có: \(\begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + {c^2} – 2bc\cos A\\{b^2} = {c^2} + {a^2} – 2ca\cos B\\{c^2} = {a^2} + {b^2} – 2ab\cos C\end{array}\)  Hệ quả \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} – {a^2}}}{{2bc}};\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} – {b^2}}}{{2ac}};\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} – {c^2}}}{{2ab}}\)

Ví dụ: Cho tam giác ABC có \(\widehat C = {115^0},AC = 8\) và BC = 12. Tính độ dài cạnh AB và các góc A, B của tam giác đó. 

Giải

Theo định lí côsin, ta có: 

\(\begin{array}{l}
A{B^2} = B{C^2} + A{C^2} – 2.BC.AC.\cos C\\
 = {12^2} + {8^2} – 2.12.8.cos{115^0}\\
 \approx 289,14
\end{array}\)

Vậy \(AB \approx \sqrt {289,14}  \approx 7\) 

Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c, ta có: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R.\) (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) Hệ quả \(a = 2R.\sin A;\quad b = 2R\sin B;\quad c = 2R\sin C\) \(\sin A = \frac{a}{{2R}};\quad \sin B = \frac{b}{{2R}};\quad \sin C = \frac{c}{{2R}}.\)

Ví dụ: Cho tam giác ABC có \(\widehat A = {72^0},\widehat B = {83^0},BC = 18\). Tính độ dài các cạnh AC, AB và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác đỏ.

Giải

Đặt a= BC, b =AC, c =AB

Ta có: \(a = 18,\widehat C = {180^0} – \left( {{{72}^0} + {{83}^0}} \right) = {25^0}\)

Áp dụng định lí sin, ta có: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\)

Suy ra

\(\begin{array}{l}
AC = b = \frac{{asinB}}{{\sin A}} = \frac{{18.\sin {{83}^0}}}{{\sin {{72}^0}}} \approx 18,8\\
AB = c = \frac{{a\sin C}}{{\sin A}} = \frac{{18.\sin {{25}^0}}}{{\sin {{72}^0}}} \approx 8\\
R = \frac{a}{{2.\sin A}} = \frac{{18}}{{2.\sin {{72}^0}}} \approx 9,5
\end{array}\)

1) \(S = \frac{1}{2}a{h_a} = \frac{1}{2}b{h_b} = \frac{1}{2}c{h_c}\)

2) \(S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ca\sin B = \frac{1}{2}ab\sin C\)

3) \(S = \frac{{abc}}{{4R}}\)

4) \(S = pr = \frac{{(a + b + c).r}}{2}\)

5) \(S = \sqrt {p(p – a)(p – b)(p – c)} \) (Công thức Heron)

Ví dụ: Cho tam giác 48C có các cạnh a = 30, b =26, e =28.

a) Tính diện tích tam giác 48C.

b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và bản kinh đường tròn nội tiếp tam giác ⁄48C.

Giải

a) Ta có: \(p = \frac{1}{2}.\left( {30 + 26 + 28} \right) = 42\)

Áp dụng công thức Heron, ta có:

\(S = \sqrt {p\left( {p – a} \right)\left( {p – b} \right)\left( {p – c} \right)}  = \sqrt {42\left( {42 – 30} \right)\left( {42 – 26} \right)\left( {42 – 28} \right)}  = 336\)

b) Ta có: \(S = \frac{{abc}}{{4R}}\), suy ra \(R = \frac{{abc}}{{4S}} = \frac{{30.26.28}}{{4.336}} = 16,25\)

Ta lại có S = pr, Suy ra \(r = \frac{S}{p} = \frac{{336}}{{42}} = 8\)