Trong đo đạc và tính toán, ta thường chỉ nhận được các số gần đúng.

Ví dụ:

a) Người ta thường lấy \(\pi \) xấp xỉ 3,14. Khi đó 3,14 là một số gần đúng của số đúng \(\pi \)

b) Cho số \(\overline a  = 2,17369266494051…\), thì số \(a = 2,1737\) là một số gần đúng của số đúng \(\overline a \)

a) Sai số tuyệt đối

Nếu a là số gần đúng của số đúng \(\overline a \) thì \({\Delta _a} = \left| {\overline a  – a} \right|\) được gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a.

Ví dụ: Một bồn hoa có dạng hình tròn với bán kính là 0,8 m. Hai bạn Ngân và Ánh cùng muốn tính diện tích S của bổn hoa đó. Bạn Ngân lấy một giá trị gần đúng của \(\pi \) là 3,1 và được kết quả là \({S_1}\). Bạn Ánh lấy một siá trị gần đúng của \(\pi \) là 3,14 và được kết quả là \({S_2}\). So sánh sai số tuyệt đối \({\Delta _{{S_1}}}\) của số gần đúng \({S_1}\) và sai số tuyệt đối \({\Delta _{{S_2}}}\) của số gần đúng \({S_1}\). Bạn nào cho kết quả chính xác hơn?

Giải

Ta có:

\(\begin{array}{l}
{S_1} = 3,1.{\left( {0,8} \right)^2} = 1,984\left( {{m^2}} \right);\\
{S_2} = 3,1.{\left( {0,8} \right)^2} = 2,0096\left( {{m^2}} \right)
\end{array}\)

Ta thấy: \(3,1 < 3,14 < \pi \) nên \(3,1.{\left( {0,8} \right)^2} < 3,14.{\left( {0,8} \right)^2} < \pi .{\left( {0,8} \right)^2}\) tức là \({S_1} < {S_2} < S\).

Suy ra: \({\Delta _{{S_2}}} = \left| {S – {S_2}} \right| < \left| {S – {S_1}} \right| = {\Delta _{{S_1}}}\). Vậy bạn Ánh cho kết quả chính xác hơn.

Chú ý: Sai số tuyệt đối của số gần đúng nhận được trong một phép đo đạc, tính toán càng bé thì kết quả của phép đo đạc, tính toán đó càng chính xác. 

b) Độ chính xác của một số gần đúng

Ta nói a là số gần đúng của số đúng \(\overline a \) với độ chính xác d nếu \({\Delta _a} = \left| {\overline a  – a} \right| \le d\) và quy ước viết gọn là \(\overline a  = a \pm d\)

Nhận xét: Nếu \({\Delta _a} \le d\) thì số đúng \(\overline a \) nằm trong đoạn \(\left[ {a – d;a + d} \right]\). Bởi vậy, d càng nhỏ thì ai lệch của số gần đúng a so với số đúng \(\overline a \) càng ít. Điều đó giải thích vì sao d được gọi là độ chính xác của số gần đúng.

c) Sai số tương đối

Tỉ số \({\delta _a} = \frac{{{\Delta _a}}}{{\left| a \right|}}\) được gọi là sai số tương đối của số gần đúng a.

Nhận xét

+ Nếu \(\overline a  = a \pm d\) thì \({\Delta _a} \le d\). Do đó \({\delta _a} \le \frac{{{\Delta _a}}}{{\left| a \right|}}\). Vì vậy, nếu \(\frac{d}{{\left| a \right|}}\) càng bé thì chất lượng của phép đo đạc hay tính toán càng cao.

+ Người ta thường viết sai số tương đối dưới dạng phân trăm. Chẳng hạn, trong phép đo thời gian Trái Đất quay một vòng xung quanh Mặt Trời thì sai số tương đối không vượt quá \(\frac{{\frac{1}{4}}}{{365}} = \frac{1}{{1460}} \approx 0,068\% \). 

Khi quy tròn một số nguyên hoặc một số thập phân đến một hàng nào đó thì số nhận được gọi là số quy tròn của số ban đầu.

Nhận xét: Khi thay số đúng bởi số quy tròn đến một hàng nào đó thì sai số tuyệt đối của số quy tròn không vượt quá nửa đơn vị của hàng quy tròn. Như vậy, độ chính xác của số quy tròn bằng nửa đơn vị của hàng quy tròn.

Từ nhận xét trên ta có thể viết số quy tròn của số gần đúng căn cứ vào độ chính xác cho trước.

Ví dụ: Viết số quy tròn của mỗi số sau với độ chính xác d:

a) 2 841 331 với d = 400; 

b) 4,1463 với d = 0,01;

c) 1,4142135… với đ = 0,001.

Giải

a) Vì độ chính xác d = 400 thoả mãn 100 < 400 < 500 nên ta quy tròn số 2 841 331 đến hàng nghìn theo quy tắc ở trên.

Vậy số quy tròn của số 2 841 331 với độ chính xác d = 400 là 2 841 000.

b) Vì độ chính xác d = 0,01 thoả mãn 0,01 < 0,005 nên ta quy tròn số 4,1463 đến hàng phần mười theo quy tắc ở trên.

Vậy số quy tròn của số 4,1463 với độ chính xác d = 0,01 là 4,1.

c) Vì độ chính xác d = 0,001 thoả mãn 0,001 < 0,005 nên ta quy tròn số 1,4142135… đến hàng phần trăm theo quy tắc ở trên.

Vậy số quy tròn của số 1,4142135… với độ chính xác d = 0,001 là 1,41.