+ Bất phương trình bậc hai ân x là bất phương trình có một trong các dạng sau: \(a{x^2} + bx + c < 0;a{x^2} + bx + c \le 0;a{x^2} + bx + c > 0;a{x^2} + bx + c \ge 0\) (\(a,b,c \in \mathbb{R};a \ne 0\)), trong đó a, b, c là các số thực đã cho, a \( \ne \) 0. + Đối với bất phương trình bậc hai có dạng \(a{x^2} + bx + c < 0\), mỗi số. xo \(\in\) R sao cho \(ax_0^2 + b{x_0} + c < 0\) được gọi là một nghiệm của bất phương trình đó. Tập hợp các nghiệm x0 như thế còn được gọi là tập nghiệm của bất phương trình bậc hai đã cho. Nghiệm và tập nghiệm của các dạng bất phương trình bậc hai ẩn x còn lại được đinh nghĩa tương tư.

Ví dụ: Cho bất phương trình bậc hai một ẩn \({x^2} – 4{\rm{x}} + 3 < 0(1)\). Trong các giá trị sau đây của x, giá trị nào là nghiệm của bất phương trình (1)?

a) x = 2;

b) x=0;

c) x = 4.

Giải

a) Với x=2, ta có: 2² – 4.2 + 3 = – 1 <0. Vậy x = 2 là nghiệm của bất phương trình (1).

b) Với x = 0, ta có: 0² – 4. 0 + 3 = 3 >0. Vậy x = 0 không phải là nghiệm của bất phương trình (1).

c) Với x= 3, ta có: 3² – 4. 3 + 3 = 0. Vậy x = 3 không phải là nghiệm của bất phương trình (1).

Chú ý: Giải bất phương trình bậc hai ẩn x là đi tìm tập nghiệm của bất phương trình đó.

* Giải bằng cách xét dấu tam thức bậc hai

Bước 1: Xác định dấu của a và tìm nghiệm của f(x) (nếu có)

Bước 2: Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai để tìm tập hợp những giá trị x sao cho f(x) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

+ \(\Delta  < 0\): f(x) cùng dấu với a, \(\forall x \in \mathbb{R}\)

+ \(\Delta  = 0\): f(x) cùng dấu với a, \(\forall x \in \mathbb{R}{\rm{\backslash }}\left\{ {\frac{{ – b}}{{2a}}} \right\}\)

+ \(\Delta  < 0\): f(x) có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}({x_1} < {x_2})\)

* Giải bằng cách sử dụng đồ thị

+) Nghiệm của BPT \(a{x^2} + bx + c > 0\) là tập hợp x ứng với phần Parabol \(y = a{x^2} + bx + c\) nằm phía trên trục hoành.

+) Nghiệm của BPT \(a{x^2} + bx + c < 0\) là tập hợp x ứng với phần Parabol \(y = a{x^2} + bx + c\) nằm phía dưới trục hoành.

Ví dụ: Quan sát đồ thị ở Hình 27, Hình 28 và giải các bất phương trình bậc hai sau:

\(\begin{array}{l}
a){x^2} – 5x + 4 < 0\\
b) – {x^2} + 3x > 0
\end{array}\)

Giải

a) Quan sát đồ thị ở hình 27, ta thấy: \({x^2} – 5x + 4 < 0\) biểu diễn phần parabol \(y = {x^2} – 5x + 4\) nằm phía dưới trục hoành, tương ứng với 1 < x < 4.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình \({x^2} – 5x + 4 < 0\) là khoảng (1 ; 4).

b) Quan sát đồ thị ở hình 28, ta thấy: \( – {x^2} + 3x > 0\) biểu diễn phần parabol \(y =  – {x^2} + 3x\) nằm phía trên trục hoành, tương ứng với 0 < x < 3. Vậy tập nghiệm của bất phương trình \( – {x^2} + 3x > 0\) là khoảng (0; 3).

Bất phương trình bậc hai một ẩn có nhiều ứng dụng, chẳng hạn: giải một số hệ bất phương trình; ứng dụng vào tính toán lợi nhuận trong kinh doanh; tính toán điểm rơi trong pháo binh; …