Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y. Mỗi nghiệm chung của tất cả các bắt phương trình đó được gọi là một nghiệm của hệ bât phương trình đã cho. Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, tập hợp các điểm (x0; y0) có toa độ là nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn được gọi là miền nghiệm của hệ bất phương trình đó.

Ví dụ: Tìm hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong các hệ sau:

\(\begin{array}{l}
a)\left\{ \begin{array}{l}
3x + y – 1 \le 0\\
2x – y + 2 \ge 0
\end{array} \right.\\
b)\left\{ \begin{array}{l}
5x + y – 9 = 0\\
4x – 7y + 3 = 0
\end{array} \right.\\
c)\left\{ \begin{array}{l}
y – 1 < 0\\
x + 2 \ge 0
\end{array} \right.\\
d)\left\{ \begin{array}{l}
x + y – 3 \le 0\\
 – 2x + y + 3 \ge 0\\
x \ge 0\\
y \le 0
\end{array} \right.
\end{array}\)

Giải

Các hệ a), e), đ) là các hệ bât phương trình bậc nhật hai ẩn.

Hệ b) không phải hệ bất phương trình bậc nhất hai ân vì hệ này chỉ gồm các phương trình

Để biểu diễn miễn nghiệm của hệ bật phương trình bậc nhật hai ẩn trên mặt phẳng toạ độ Oxy, ta thực hiện như sau: – Trên cùng mặt phẳng tọa đô, biểu diễn miền nghiệm của mỗi bắt phương trình của hê. – Phần giao của các miền nghiệm là miền nghiệm của hệ bất phương trình.

Ví dụ: Biểu diễn miền nghiệm của hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}
2x – y – 3 \le 0\\
2x – y + 2 \le 0
\end{array} \right.\)

Giải

Biểu điễn từng miền nghiêm của mỗi bất phương trình trên mặt phẳng Oxy.

Miễn không gạch chéo (kề cả bờ) trong (Hình bên dưới) là phần giao của hai miền nghiệm của hai bất phương trình và cũng là phần biểu diễn miễn nghiệm của hệ bât phương trình đã cho.

Cho hệ BPT bậc nhất hai ẩn x, y có miền nghiệm là miền đa giác \({A_1}{A_2}…{A_n}\).

Khi đó: Giá trị lớn nhất (hay nhỏ nhất) của biể thức \(F(x;y) = mx + ny\), với \((x;y)\) là tọa độ các điểm thuộc miền đa giác \({A_1}{A_2}…{A_n}\), đạt được tại một trong các đỉnh của đa giác đó.