– Hệ bất phương trình bậc nhát hai ần là một hệ gồm hai hay nhiều bắt phương trình bậc nhất hai ẩn. – Cặp số (x0; y0) là nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn khi (x0; y0) đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình trong hệ đó.

Ví dụ: Cho hệ bắt phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
x \ge 0\\
y \ge 0\\
x + y \le 150
\end{array} \right.\)

a) Hệ trên có phải là một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn không?

b) Kiểm tra xem cặp số (x; y) = (0; 0) có phải là một nghiệm của hệ bất phương trình trên không.

Giải

a) Hệ bắt phương trình đã cho là một hệ bắt phương trinh bậc nhất hai ẩn x và y.

b) Cặp số (x, y) = (0; 0) thoả mãn cả ba bắt phương trình của hệ nên nó là một nghiệm của hệ bắt phương trình bậc nhất hai ẩn đã cho. 

* Trong mặt phẳng toạ độ, tập hợp các điểm có toạ độ là nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẳn là miền nghiệm của hệ bất phương trình đó. * Miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

Ví dụ: Biểu diến miền nghiệm của hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng toạ độ: \(\left\{ \begin{array}{l}
7x + 4y \le 2400\\
x + y \le 100\\
x \ge 0
\end{array} \right.\)

Giải

Bước 1: Xác định miền nghiệm D₁, của bắt phương trình \(7x + 4y \le 2400\) và gạch bỏ miền còn lại.

+ Vẽ đường thẳng d: 7x + 4y =2 400.

+ Vị 7.0 + 4.0 = 0 < 2 400 nên toạ độ điểm O(0; 0) thoả mãn bắt phương trình \(7x + 4y \le 2400\) 

Do đó, miền nghiệm D1, của bắt phương trình \(7x + 4y \le 2400\) là nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc toạ độ O. 

Bước 2: Tương tự, miền nghiệm D₂, của bất phương trình \(x + y \le 100\) là nửa mặt phẳng bờ d’ chứa gốc toạ độ O. 

Bước 3: Tương tự, miền nghiệm D3, của bất phương trình \(x \ge 0\) là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1; 0). 

Khi đó, miền không bị gạch chính là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ. Vậy miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch trong sau

Cách xác định miền nghiệm của một hệ bắt phương trình bậc nhất hai ẩn: – Trên cùng một mặt phẳng toạ độ, xác định miền nghiệm của mỗi bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong hệ và gạch bỏ miền còn lại. – Miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Nhận xét: Tổng quát, người ta chứng minh được rằng giá trị lớn nhất (hay nhỏ nhất) của biểu thức F{x, y) = ax + by, với (x, y) là toạ độ các điểm thuộc miễn đa giác A₁A₂…A_n, tức là các điểm nằm bên trong hay nằm trên các cạnh của đa giác, đạt được tại một trong các đỉnh của đa giác đó.

Ví dụ: 

Trong năm nay, một cửa hàng điện lạnh dự định kinh doanh hai loại máy điều hoà điều hoà hai chiều và điều hoà một chiều với số vốn ban đầu không vượt quá 1,2 tỷ đồng.

	Điều hòa hai chiều	Điều hòa một chiều
Giá mua vào	20 triệu đồng/1 máy	10 triệu đồng/1 máy
Lợi nhuận dự kiến	3,5 triệu đồng/1 máy	2 triệu đồng/1 máy

Cửa hàng ước tính rằng tổng nhu cầu của thị trường sẽ không vượt quá 100 máy cả hai loại. Nếu là chủ cửa hàng thì em cần đầu tư kinh doanh mỗi loại bao nhiêu máy đề lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Giải

Giả sử cửa hàng cần nhập số máy điều hoà hai chiều là x và số máy điều hoà một chiều là y. Khi đó ta có \(x \ge 0,y \ge 0\).

Vì nhu cầu của thị trường không quá 100 máy nên \(x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} \le 100.\)

Số tiên để nhập hai loại máy điều hoà với số lượng như trên là: 20x + 10y (triệu đồng).

Số tiền tối đa để đầu tư cho hai loại máy là 1,2 tỉ đồng, nên ta có \(20x + 10y \le 1200\) hay \(2x + y \le 120\)

Từ đó ta thu được hệ bất phương trình bậc nhất hai ần sau:

\(\left\{ \begin{array}{l}
x \ge 0\\
y \ge 0\\
x + y \le 100\\
2x + y \le 120
\end{array} \right.\) 

Lợi nhuận thu được khi bán x máy điều hoà hai chiều và y máy điều hoà một chiều là F(x;y) = 3,5x + 2y.

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của F(x, y) khi (x, y) thoả mãn hệ bắt phương trình trên.

Bước 1: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình trên. Miền nghiệm là miền tứ giác OABC với toạ độ các đỉnh O(0:0), A(0;100), B(20;80) và C(60;0) 

Bước 2: Tính giá trị của biểu thức F tại các đỉnh của tứ giác này: F (0;0) = 0, F (0;100) = 200, F (20,80) = 230, F (60;0) = 210.

Bước 3: So sánh các giá trị thu được của F ở Bước 2, ta được giá trị lớn nhất cần tìm là F (20:80) = 230.

Vậy cửa hàng cần đầu tư kinh doanh 20 máy điều hoà hai chiều và 80 máy điều hoà một chiều để lợi nhuận thu được là lớn nhất.