a) Tập hợp

Có thể mô tả một tập hợp bằng một trong hai cách sau: Cách 1: Liệt kê các phần tử của tâp hợp; Cách 2: Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp.

Chú ý: Số phần tử của tập hợp S được kí hiệu là n(S). 

• a \( \in \) S phần tử a thuộc tập hợp S.
• a \( \notin \) S phần tử a không thuộc tập hợp S.

* Tập hợp không chưa phần tử nào được gọi là tập rộng, kí hiệu là \(\emptyset \)

Chẳng hạn:

– Tập hợp các nghiệm của phương trình x² + 1 = 0 là tập rộng;

– Tập hợp những người sống trên Mặt Trời là tập rỗng.

b) Tập hợp con

Nếu mọi phần tử của tập hợp T đều là phần tử của tập hợp S thì ta nói T là một tập hợp con (tập con) của S và viết là \(T \subset S\) (đọc là T chứ trong S hoặc T là tập hợp con của S).

• Thay cho \(T \subset S\), ta còn viết \(S \supset T\) (đọc là S chứa T).
• Kí hiệu \(T \not\subset S\) để chỉ T không lả tập con của S.

Nhận xét:

• Từ định nghĩa trên, T là tập con của S nếu mệnh đề sau đúng: \(\forall x,x \in T \Rightarrow x \in S\).
• Quy ước tập rộng là tập con của mọi tập hợp.

– Người ta thường minh hoạ một tập hợp bằng một hình phẳng được bao quanh bởi một đường kín, gọi là biểu đồ ven (Hình sau)

– Minh hoạ T là một tập con của S như hình 1.3

c) Hai tập hợp bằng nhau

Hai tập hợp S và T được gọi là hai tập hợp bằng nhau nếu mỗi phần tử của T cũng là phần tử của tập hợp S và ngược lại. Kí hiệu S = T

Ví dụ: Cho tập hợp:

C = {châu Á; châu Âu; châu Đại Dương; châu Mĩ; châu Nam Cực; châu Phi}.

a) Hãy chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp C.

b) Tập hợp C có bao nhiêu phần tử?

Giải

a) Tính chất đặc trưng của các phần tử của tập hợp C: là các châu lục trên Trái đất.

b) Tập hợp C có 6 phần tử.

a) Mối quan hệ giữa các tập hợp số

– Tập hợp các số tự nhiên N = {0; 1; 2; 3; 4; …}

– Tập hợp các số nguyênZ gồm các số tự nhiên và các số nguyên âm: Z = {…; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3;…}

– Tập hợp các số hữu tỉ Q gồm các số viết được dưới dạng phân số \(\frac{a}{b}\), với a, b \(\in\) Z, b \( \ne \) 0. Số hữu tỉ còn được biểu diễn dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.

– tập hợp các số thực R gồm các số hữu tỉ. Số vô tỉ là các số thập phân vô hạn không tuần hoàn. 

Mối quan hệ giữa các tập hợp số: \(N \subset Z \subset Q \subset R\) 

b) Các tập con thường dùng của \(\mathbb{R}\)

– Kí hiệu \( + \infty \): Đọc là dương vô cực (hoặc dương vô cùng).

– Kí hiệu \( – \infty \): Đọc là âm vô cực (hoặc âm vô cùng).

– a, b gọi là các đầu mút của đoạn, khoảng hay nửa khoảng. 

Ví dụ: Cho tập hợp C = {-4; 0; 1; 2}. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) C là tập con của \(\mathbb{Z}\)

b) C là tập con của \(\mathbb{N}\)

c) C là tập con của \(\mathbb{R}\)

Giải

a) Dễ thấy: \( – 4;{\rm{ }}0;{\rm{ }}1;{\rm{ }}2 \in \mathbb{Z}\)

Vậy C là tập con của \(\mathbb{Z}\), mệnh đề đúng.

b) Vì \( – 4 \notin \mathbb{N}\) nên C không là tập con của \(\mathbb{N}\)

Vậy mệnh đề sai.

c) Dễ thấy: \( – 4;{\rm{ }}0;{\rm{ }}1;{\rm{ }}2 \in \mathbb{R}\)

Vậy C là tập con của \(\mathbb{R}\), mệnh đề đúng.

a) Giao của hai tập hợp

Tập hợp các phần tử thuộc cả hai tập hợp S và T gọi là giao của hai tập hợp S và T, kí hiệu là \(S \cap T\).

\(S \cap T = \{ x|x \in S\) và \(x \in T\} \). 

b) Hợp của hai tập hợp

Tập hợp gồm các phần tử thuộc tập hợp S hoặc thuộc tập hợp T gọi là hợp của hai tập hợp S và T, kí hiệu là \(S \cup T\). 

\(S \cup T = \{ x|x \in S\) hoặc \(x \in T\} \)

c) Hiệu của hai tập hợp

– Hiệu của hai tập hợp S và T là tập hợp gồm các phần tử thuộc S nhưng không thuộc T, kí hiệu là S\T.

S\T = {x | x\(\in\) S và x \(\notin\) T}.

– Nếu \(T \subset S\) thì S\T được gọi là phần bù của T trong S, kí hiệu là C_ST

Chú ý: CSS = \(\emptyset \)

Ví dụ: Tìm phần bù của các tập hợp sau trong \(\mathbb{R}\):

a) \(\left( { – \infty ; – 2} \right)\)

b) \([ – 5; + \infty )\)

Giải

Ta có:

Suy ra phần bù của tập hợp \(\left( { – \infty ; – 2} \right)\) trong \(\mathbb{R}\) là: \(\mathbb{R}{\rm{\backslash }}\left( { – \infty ; – 2} \right) = [ – 2; + \infty )\)

Suy ra phần bù của tập hợp \([ – 5; + \infty )\) trong \(\mathbb{R}\) là: \(\mathbb{R}{\rm{\backslash }}[ – 5; + \infty ) = ( – \infty ; – 5)\)