Cho hai tập hợp A và B. – Tập hợp các phần tử thuộc A hoặc thuộc B gọi là hợp của hai tập hợp A và B, kí hiệu \(A \cup B\). \(A \cup B = {\rm{\{ }}x|x \in A\) hoặc \(x \in B{\rm{\} }}\) – Tập hợp các phần tử thuộc cả hai tập hợp A và B gọi là giao của hai tập hợp A và B, kí hiệu \(A \cap B\). \(A \cap B = {\rm{\{ }}x|x \in A\) và \(x \in B{\rm{\} }}\)

             

Ví dụ: Xác định \(A \cup B\) và \(A \cap B\) trong mỗi trường hợp sau:

a) A= {2; 3; 5; 7}, B={1; 3, 5; 15};

b) \(A = \left\{ {x \in R|x(x + 2) = 0} \right\},B = \left\{ {x \in R|{x^2} + 2 = 0} \right\}\) 

c) A là tập hợp các hình bình hành, B là tập hợp các hình thoi.

Giải

a) 4\(A \cup B\) = (1;2;3;5; 7; 15), \(A \cap B\) = (3; 5}

b) Phương trình x(x + 2) = 0 có hai nghiệm là 0 và -2. nên A = {-2; 0}

Phương trình \({x^2} + 2 = 0\) vô nghiệm, nên B = Ø

Từ đó \(A \cup B = A \cup \emptyset {\rm{ }} = A = \left\{ { – 2;0} \right\},A \cap B = A \cap {\rm{ }}\emptyset {\rm{ }} = {\rm{ }}\emptyset {\rm{ }}\)

e) Vì mỗi hình thoi cũng là hình bình hành nên \(B \subset A\). Từ đó, \(A \cup B = A,A \cap B = B\) 

Nhận xét:

• Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn thì \(n\left( {A \cup B} \right) = n\left( A \right) + n\left( B \right) – n\left( {A \cap B} \right)\)
• Đặc biệt, nếu A và B không có phần tử chung, tức \(A \cap B = \emptyset \) \) thì \(n\left( {A \cup B} \right) = n\left( A \right) + n\left( B \right)\)

Cho hai tập hợp A và B. – Tâp hợp các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B gọi là liệu của A và B, kí hiệu \(A\backslash B\) \(A\backslash B = {\rm{\{ }}x|x \in A\) và \(x \notin B{\rm{\} }}\). – Nếu A là tập con của E thì hiệu \(E\backslash A\) gọi là phân bù của A trong E, kí hiệu \({C_E}A\).

            

Ví dụ: Cho E = {x \(\in\) N | x < 10}, A = {0; 2′ 4; 6; 8}, B = {0; 3; 6; 9}

Xác định các tập hợp \(A\backslash B,B\backslash A,{C_E}A,{C_E}B\).

Giải

Ta có: \(A\backslash B = \left\{ {2;4;8} \right\},B\backslash A = \left\{ {3;9} \right\},{C_E}A = \left\{ {1;3;5;7;9} \right\},{C_E}B = \left\{ {1;2;4;5;7;8} \right\}\)

Chú ý: Trong các chương sau, để tìm các tập hợp là hợp, giao, hiệu, phần bù của những tập con của tập số thực, ta thường vẽ sơ đồ trên trục số.