1.1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Định nghĩa
| Cho đường thẳng \( \Delta \) và điểm M không thuộc \( \Delta \). Gọi H là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng \( \Delta \). Độ dài đoạn thẳng MH gọi là khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng \( \Delta \), kí hiệu \( d(M, \Delta ) \). |
– Trong Hình bên dưới, ta có \(d(M, \Delta ) = MH\).
Chú ý: Khi điểm M thuộc đường thẳng \( \Delta \) thì \(d(M, \Delta ) = 0\).
1.2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Định nghĩa
| Cho mặt phẳng (P) và điểm M không thuộc mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu của M trên mặt phẳng (P). Độ dài đoạn thẳng MH gọi là khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P), kí hiệu \( d(M, (P) \). |
Chú ý: Khi điểm M thuộc mặt phẳng (P) thì \( d(M, (P))=0 \).
1.3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
Định nghĩa
| Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song \( \Delta \), \( {\Delta}’ \) là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia, kí hiệu \(d( \Delta, {\Delta}’).\) |
– Trong Hình bên dưới, ta có \(d( \Delta, {\Delta}’) =AB\) với \(A \in \Delta, B \in {\Delta}’\), \(AB \bot \Delta, AB \bot {\Delta}’ \) và \( \Delta // {\Delta}’\).
1.4. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
Định nghĩa
| Cho đường thẳng \( \Delta \) song song song với mặt phẳng (P). Khoảng cách giữa đường thẳng \( \Delta \) và mặt phẳng (P) là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng \( \Delta \) đến mặt phẳng (P), kí hiệu \(d( \Delta , (P))\). |
– Trong hình dưới, ta có: \(d( \Delta , (P))=MM’=h\), trong đó \(M \in \Delta, M’ \in (P)\), \(MM’ \bot (P)\) và\(\Delta // (P)\).
1.5. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Định nghĩa
| Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P),(Q) là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia, kí kiệu \(d((P), (Q))\). |
– Trong hình dưới, ta có: \(d((P),(Q)) = IK = h\) với \(I \in (P), K \in (Q), IK \bot (P), IK \bot (Q)\) và \((P) // (Q)\).
1.6 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Định nghĩa
|
Cho hai đường thẳng a, b chéo nhau. – Đường thẳng c vừa vuông góc, vừa cắt cả hai đường thẳng a và b được gọi là đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó. – Đoạn thẳng có hai đầu mút là giao điểm của đường thẳng c với hai đường thẳng a, b được gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó. – Độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng a, b gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng đó. Kí hiệu là \(d(a, b)\). |
Nhận xét:
– Gọi mặt phẳng chứa b và song song với a là (P), hình chiếu của a trên (P) là a’, giao điểm của a’ và b là K. Khi đó, HK là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a, b (Hình a). Ngoài ra, ta cũng có \(d(a, b) = d(a, (P))\).
– Khi \(a \bot b\), ta có thể làm như sau: Gọi mặt phẳng đi qua b và vuông góc với a là (P), giao điểm của a và (P) là H, hình chiếu của H trên b là K. Khi đó HK là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a, b (Hình b).
