2.1. Bất phương trình mũ
a) Phương pháp đưa về cùng cơ số
- Nếu \(a>1\):
+ \(a^x>a^y\Leftrightarrow x>y\)
+ \(a^{f(x)}>a^{g(x)}\Leftrightarrow f(x)>g(x)\)
- Nếu \(0 < a < 1\)
+ \({a^{f(x)}} > {a^{g(x)}} \Leftrightarrow f(x) > g(x)\)
b) Phương pháp lôgarit hóa
- Nếu \({a^{f(x)}} > b{\rm{ }}(1)\)
\((1) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} a > 1\\ f(x) > {\log _a}b \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} 0 < a < 1\\ f(x) < {\log _a}b \end{array} \right. \end{array} \right.\)
- Nếu \({a^{f(x)}} > {b^{g(x)}}{\rm{ }}(2)\)
\((2) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} a > 1\\ f(x) > g(x).{\log _a}b \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} 0 < a < 1\\ f(x) < g(x).{\log _a}b \end{array} \right. \end{array} \right.\)
c) Phương pháp đặt ẩn phụ
- Kiểu 1: Đặt 1 ẩn đưa về phương trình theo 1 ẩn mới
+ \(a.m^{2f(x)}+b.m^{f(x)}+c>0\): Đặt \(t=m^{f(x)}\), ta có \(at^2+bt+c>0\)
+ \(a.m^{f(x)}+b.n^{f(x)}+c>0\) trong đó \(m.n=1\): Đặt \(t=m^{f(x)}\), ta có \(a.t+b.\frac{1}{t}+c>0\)\(\Leftrightarrow at^2+ct+b>0\)
+ \(a.m^{2f(x)}+b.m^{f(x)}.n^{g(x)}+c.n^{g(x)}>0\)
+ Chia cả 2 vế cho \(n^{2g(x)}\), ta có:
+ \(a.\left [ \frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}} \right ]^2+b.\frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}} +c>0\)
+ Đặt \(t=\frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}}\), ta có \(at^2+bt+c>0\)
- Kiểu 2: Đặt 1 ẩn nhưng không làm mất ẩn ban đầu. Khi đó, xử lý phương trình theo các cách sau:
+ Đưa về bất phương trình tích.
+ Xem ẩn ban đầu như là tham số.
- Kiểu 3: Đặt nhiều ẩn. Khi đó xử lý phương trình theo các cách sau:
+ Đưa về bất phương trình tích.
+ Xem 1 ẩn là tham số.
d) Phương pháp hàm số
- Xét hàm số \(y=a^x\):
+ Nếu \(a>1\): \(y=a^x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
+ Nếu \(0 < a < 1:y = {a^x}\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}.\)
- Tổng của hai hàm số đồng biến (NB) trên D là hàm số đồng biến (NB) trên D.
- Tích của hai hàm số đồng biến và nhận giá trị dương trên D là hàm số đồng biến trên D.
- Cho hàm số \(f(x)\) và \(g(x)\), nếu:
+ \(f(x)\)đồng biến trên D.
+ \(g(x)\) nghịch biến trên D.
⇒ \(f(x)-g(x)\) đồng biến trên D.
2.2. Bất phương trình lôgarit
a) Phương pháp đưa về cùng cơ số
- Với \(a>1:\) \(\log_a \ f(x) >\log_a \ g(x)\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} f(x)>g(x)\\ g(x)>0 \end{matrix}\right.\) Với \(0 < a < 1:{\log _a}f(x) > {\log _a}g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(x) < g(x)\\ f(x) > 0 \end{array} \right.\)
b) Phương pháp mũ hóa
- Xét bất phương trình: \(\log_a \ f(x)> b \ \ (1)\) với \(0 < x \ne 1\)
+ \(a>1, \ \ (1)\Leftrightarrow f(x)>a^b\)
+ \(0 < a < 1,(1) \Leftrightarrow 0 < f(x) < {a^b}\)
c) Phương pháp đặt ẩn phụ
- Các kiểu đặt ẩn phụ:
+ Kiểu 1: Đặt 1 ẩn và đưa về phương trình theo một ẩn mới.
+ Kiểu 2: Đặt 1 ẩn và không làm mất ẩn ban đầu.
- Xem ẩn ban đầu là tham số
- Bất phương trình tích
- Kiểu 3: Đặt nhiều ẩn
d) Phương pháp hàm số
- Xét hàm số \(y = {\log _a}x\,(0 < a \ne 1):\)
+ \(a>1, y =\log_a x\) đồng biến trên \((0;+\infty )\).
+ \(0 < a < 1,y = {\log _a}x\) nghịch biến trên \((0;+\infty )\).
- Xét hai hàm số \(f(x)\) và \(g(x):\)
+ Nếu \(f(x)\) và \(g(x)\) là hai hàm số đồng biến (nghịch biến) trên tập D thì \(f(x)+g(x)\) là hàm số đồng biến (nghịch biến) trên tập D.
+ Nếu \(f(x)\) và \(g(x)\) là hai hàm số đồng biến trên tập D và \(f(x).g(x)>0\) thì \(f(x).g(x)\) là hàm số đồng biến trên tập D.
+ Nếu \(f(x)\) đồng biến trên D, \(g(x)\) nghịch biến trên D:
+ \(f(x)-g(x)\) đồng biến trên D.
+ \(f(x)-g(x)\) nghịch biến trên D.