2.1. Định nghĩa
- Cho hàm \(f(x)\) liên tục trên khoảng K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K. Nếu \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) thì hiệu số \(F(b)-F(a)\) được gọi là tích phân của \(f(x)\) từ a đến b và ký hiệu là \(\int\limits_a^b {f(x)dx} .\) Trong trường hợp \(a
2.2. Tính chất của tích phân
- Cho các hàm số \(f(x),\,g(x)\) liên tục trên K và \(a,b,c\) là ba số thuộc K.
+ \(\,\int\limits_a^a {f(x)dx = 0}\)
+ \(\int\limits_a^b {f(x)dx = - \int\limits_b^a {f(x)dx} }\)
+ \(\int\limits_a^b {f(x)dx = \int\limits_a^c {f(x)dx} + \int\limits_c^b {f(x)dx} }\)
+ \(\int\limits_a^b {k.f(x)dx = k\int\limits_a^b {f(x)dx} }\)
+ \(\int\limits_a^b {[f(x) \pm g(x)]dx = \int\limits_a^b {f(x)dx} \pm \int\limits_a^b {g(x)dx} }\)
2.3. Một số phương pháp tính tích phân
a) Phương pháp đổi biến số
- Công thức đổi biến số \(\int\limits_a^b {f[u(x)]u'(x)dx = \int\limits_{u(a)}^{u(b)} {f(u)du} }.\) Trong đó \(f(x)\) là hàm số liên tục và \(u(x)\) có đạo hàm liên tục trên khoảng J sao cho hàm hợp \(f[u(x)]\) xác định trên J; \(a,\,b \in J.\)
- Các phương pháp đổi biến số thường gặp:
+ Cách 1: Đặt \(u = u(x)\) (\(u\) là một hàm theo \(x\)).
+ Cách 2: Đặt \(x=x(t)\) (\(x\) là một hàm theo \(t\)).
b) Phương pháp tích phân từng phần
- Định lí: Nếu \(u(x),\,v(x)\) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng K và \(a,b\) là hai số thuộc K thì \(\int\limits_a^b {u(x)v'(x)dx} = \left. {u(x)v(x)} \right|_a^b - \int\limits_a^b {v(x)u'(x)dx}.\)