2.1. Định nghĩa
- Kí hiệu: K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng.
- Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên K.
- Hàm số \(y=f(x)\) đồng biến (tăng) trên K nếu \(\begin{cases} x_1, x_2 \in K \\ x_1 < x_2 \end{cases} \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)\).
- Hàm số \(y=f(x)\) nghịch biến (giảm) trên K nếu \(\begin{cases} x_1, x_2 \in K \\ x_1 < x_2 \end{cases} \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)\).
2.2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu
- Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên K:
+ Nếu \(f(x)\) đồng biến trên K thì \(f'(x)\geq 0\) với mọi \(x\in K\).
+ Nếu \(f(x)\) nghịch biến trên K thì \(f'(x)\leq 0\) với mọi \(x\in K\).
2.3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu
- Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên K:
+ Nếu \(f'(x)\geq 0\) với mọi \(x\in K\) và \(f'(x)=0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì \(f(x)\) đồng biến trên K.
+ Nếu \(f'(x)\leq 0\) với mọi \(x\in K\) và \(f'(x)=0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì \(f(x)\) nghịch biến trên K.
+ Nếu \(f'(x)=0\) với mọi \(x\in K\) thì \(f(x)\) là hàm hằng trên K.
2.4. Các bước xét tính đơn điệu của hàm số
- Bước 1: Tìm tập xác định
- Bước 2: Tính đạo hàm \(f'(x)=0\). Tìm các điểm \(x_i\) (i= 1 , 2 ,..., n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
- Bước 3: Sắp xếp các điểm \(x_i\) theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
- Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.