1.1. Giới hạn hữu hạn của dãy số
|
Ta nói dãy số (\(u_n\)) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu \(|u_n|\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 0\) hay \(u_n \to 0\) khi \(n \to +\infty\). |
Chú ý: Từ định nghĩa dãy số có giới hạn 0, ta có các kết quả sau:
+ \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{{n^k}}} = 0\) với \(k \in \mathbb{N}^*\);
+ \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {q^n} = 0\) nếu \(\left| q \right| < 1\);
+ Nếu \(|u_n| \le v_n\) với mọi \(n\ge 1\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } v_n =0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} =0\).
|
Ta nói dãy số (\(u_n\)) có giới hạn là a khi n dần tới dương vô cực, nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } ({u_n -a}) =0\). Kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a\) hay \(u_n \to a\) khi \(n \to +\infty\). |
1.2. Định lí về giới hạn của dãy số
|
- Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a, \mathop {\lim }\limits_{n\to + \infty } {v_n} = b\) thì + \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } ({u_n} + {v_n}) = a + b\) + \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } ({u_n} - {v_n}) = a - b\) + \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } ({u_n}.{v_n}) = a.b\) + \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{a}{b}{\rm{ (}}b \ne 0)\) - Nếu \({u_n} \ge 0 \text{ với mọi } n\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a\) thì \(a\ge 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sqrt {{u_n}} = \sqrt a \) |
1.3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
- Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn \(({u_n})\) có công bội q thỏa \(\left| q \right| < 1\).
Khi đó tổng \(S = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + ....\) gọi là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn và
\(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\) \((\left| q \right| < 1)\).
1.4. Giới hạn vô cực của dãy số
|
- Dãy số (\(u_n\)) được gọi là có giới hạn là \(+\infty\) khi \(n \to +\infty\), nếu \(u_n\) có thể lớn hơn một số dương bất kỳ, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {u_n} = +\infty\) hay \(u_n \to +\infty\) khi \(n \to +\infty\). - Dãy số (\(u_n\)) được gọi là có giới hạn là \(-\infty\) khi \(n \to +\infty\), nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } ({-u_n}) = +\infty\) . Kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = -\infty\) hay \(u_n \to -\infty\) khi \(n \to +\infty\). |
Theo định nghĩa, ta có:
+ \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {n^k} = + \infty\) với \(k \in \mathbb{N}^*\);
+ \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {q^n} = + \infty\) nếu \(q > 1\).
Một số quy tắc liên quan đến giới hạn vô cực của dãy số:
|
- Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = + \infty\) (hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = - \infty\)) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} =0\). - Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a>0\), \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = 0\) và \( {v_n} >0\) với mọi n thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} =+ \infty\). - Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = + \infty\), \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = a>0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }{{{u_n}}}{{{v_n}}} =+ \infty\). |