Toán 11 Cánh Diều Chương 3 Bài 1: Giới hạn của dãy số

1.1. Giới hạn hữu hạn của dãy số

a. Định nghĩa

- Dãy số (un) có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực nếu |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.   Kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 0\)  - Dãy số (un) có giới hạn hữu hạn là a khi n dần tới dương vô cực nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } ({u_n -a}) =0\)   Kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a\) $\underset{}{}$

Nhận xét: Nếu u_n càng ngày càng gần tới 0 khi n ngày càng lớn thì lim u_n = 0.

 

Chú ý:

 - Ngoài kí hiệu $$\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 0\)\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 0\), ta cũng sử dụng kí hiệu: lim u_n = 0 hay u_n → 0 khi n → +∞.

 - Ngoài kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a\) ta cũng sử dụng kí hiệu: lim u_n = a hay u_n → a khi n → +∞.

 

b. Một số giới hạn cơ bản

Ta chứng tỏ được các giới hạn sau:

 - $\lim \frac{1}{n}=0$; $\lim \frac{1}{n^k}=0$ với k là số nguyên dương cho trước;

 - $\lim \frac{c}{n}=0$; $\lim \frac{\mathrm{c}}{n^k}=0$ với c là hằng số, k là số nguyên dương cho trước;

 - Nếu |q| < 1 thì lim qⁿ = 0;

 - Dãy số (u_n) với  \({{u}_{n}}={{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}}\)  có giới hạn là một số vô tỉ và gọi giới hạn đó là e.

Ta có: \(e=\lim {{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}}\) với \(e\approx 2,718281828459045\).

 

1.2. Định lí về giới hạn hữu hạn

- Nếu lim un = a, lim vn = b thì: \(\begin{align} & \begin{array}{*{35}{l}} \lim \left( {{u}_{n}}+{{v}_{n}} \right)=a+b; \\ \lim \left( {{u}_{n}}-{{v}_{n}} \right)=a-b; \\ \lim \left( {{u}_{n}}.{{v}_{n}} \right)=a.b; \\ \end{array} \\ & \lim \frac{{{u}_{n}}}{{{v}_{n}}}=\frac{a}{b}({{v}_{n}}\ne 0,b\ne 0). \\ \end{align}\)  - Nếu un ≥ 0 với mọi n và lim un = a thì a ≥ 0 và \(\lim \sqrt{{{u}_{n}}}=\sqrt{a}\)

 

1.3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 

- Cấp số nhân vô hạn u1, u1q, …., u1qn – 1, … có công bội q thỏa mãn |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.  - Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đã cho là:  \(S={{u}_{1}}+{{u}_{1}}q+{{u}_{1}}{{q}^{2}}+...=\frac{{{u}_{1}}}{1-q}\)

 

1.4. Giới hạn vô cực

- Ta nói dãy số (un) có giới hạn + ∞ khi  \(n \to +\infty\), nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.  Kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = +\infty\) hay \(limu_n = +\infty\) hay \(u_n \to +\infty\) khi \(n \to +\infty\).  - Ta nói dãy số (un) có giới hạn - ∞ khi  \(n \to +\infty\), nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {-u_n} = +\infty\)  Kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = -\infty\) hay \(limu_n = -\infty\) hay \(u_n \to -\infty\) khi \(n \to -\infty\).

 

Nhận xét:

 - lim n^k = + ∞ với k là số nguyên dương cho trước.

 - lim qⁿ = + ∞ với q > 1 là số thực cho trước.

 - Nếu lim u_n = a và lim |v_n| = + ∞ thì $\lim \frac{u_n}{v_n}=0$.

 - Nếu lim u_n = a, a > 0 và lim v_n = 0, v_n > 0 với mọi n thì $\lim \frac{u_n}{v_n}=+\infty$.

 - lim u_n = +∞ ⇔ lim (– u_n) = – ∞.