1.1. Quy tắc đếm
a) Quy tắc cộng
Giả sử một công việc nào đó có thể thực hiện theo một trong hai phương án khác nhau:
+ Phương án một có n1 cách thực hiện,
+ Phương án hai có n2 cách thực hiện.
(Phương án 1.......n1 cách
Phương án 2.......n2 cách)
Khi đó số cách thực hiện công việc sẽ là: \({n_1}\; + {\rm{ }}{n_2}\) cách.
b) Quy tắc nhân
Giả sử một công việc nào đó phải hoàn thành qua hai công đoạn liên tiếp nhau:
+ Công đoạn một có m1 cách thực hiện,
+ Với mỗi cách thực hiện công đoạn một có m2 cách thực hiện công đoạn hai.
Khi đó số cách thực hiện công việc là: \({m_1}{\rm{.}}{{\rm{m}}_2}\) cách.
1.2. Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp
a) Hoán vị
Một hoán vị của một tập hợp có n phần tử là một cách sắp xếp có thứ tự n phân tử đó (với n là một số tự nhiên, n > 1).
Số các hoán vị của tập hợp có n phần tử, kí hiệu là \({P_n}\) được tính bằng công thức
\({P_n} = n.\left( {n - 1} \right).\left( {n - 2} \right)...2.1.\)
b) Chỉnh hợp
Một chỉnh hợp chập k của n là một cách sắp xếp có thứ tự k phần tử từ một tập hợp n phần tử (với k, n là các số tự nhiên, \(1 \le k \le n\)).
Số các chỉnh hợp chập k của n, kí hiệu là \({A_n}^k\), được tính bằng công thức
\({A_n}^k = n.\left( {n - 1} \right)...\left( {n - k + 1} \right)\) hay \({A_n}^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\left( {1 \le k \le n} \right)\)
c) Tổ hợp
Một tổ hợp chập k của n là một cách chọn k phần tử từ một tập hợp n phần tử (với k, n là các số tự nhiên, \(0 \le k \le n\)).
Số các tổ hợp chập k của n, kí hiệu là \({C_n}^k\), được tinh bằng công thức
\({C_n}^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!k!}}\left( {0 \le k \le n} \right)\)
1.3. Nhị thức Newton
Ta có công thức sau:
\(\begin{array}{l}
{\left( {a + b} \right)^4} = {C_4}^0{a^4} + {C_4}^1{a^3}b + {C_4}^2{a^2}{b^2} + {C_4}^3a{b^3} + {C_4}^4{b^4}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}.
\end{array}\)
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\left( {a + b} \right)}^5} = {C_4}^0{a^5} + {C_5}^1{a^4}b + {C_5}^2{a^3}{b^2} + {C_5}^3{a^2}{b^3} + {C_5}^4a{b^4} + {C_5}^5{b^5}}\\
{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}.}
\end{array}\)