1.1. Hai vectơ cùng phương, cùng hướng, bằng nhau
- Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó.
- Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.
- Đối với hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng.
- Hai vectơ \(\overrightarrow a\) và \(\overrightarrow b\) được gọi là bằng nhau, kí hiệu \(\overrightarrow a = \overrightarrow b \), nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.
1.2. Tổng và hiệu của hai vectơ
a) Tổng của hai vectơ
- Cho hai vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \). Lấy một điểm A tuỳ ý và vẽ \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {BC} = \overrightarrow b \) (Hình bên dưới). Khi đó vectơ \(\overrightarrow {AC} \) được gọi là tổng của hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) và được kí hiệu là \(\overrightarrow a + \overrightarrow b \).
- Phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ.
- Quy tắc ba điểm: Với ba điểm bắt kì A, B, C, ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \)
- Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là một hình binh hành thì \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \)
- Với ba vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) tuỳ ý:
-
Tính chất giao hoán: \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow b + \overrightarrow a \)
-
Tính chất kết hợp: \(\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) + \overrightarrow c = \overrightarrow a + \left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)\)
-
Tính chất của vectơ-không: \(\overrightarrow a + \overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 + \overrightarrow a = \overrightarrow a \)
b) Hiệu của hai vectơ
- Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow a \) được gọi là vectơ đối của vectơ \(\overrightarrow a \). Vectơ đối của \(\overrightarrow a \) được kí hiệu là \(-\overrightarrow a \).
- Vectơ \(\overrightarrow 0 \) được coi là vectơ đối của chính nó.
- Vectơ \(\overrightarrow a + \left( { - \overrightarrow b } \right)\) được gọi là hiệu của hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) và được kí hiệu là \(\overrightarrow a - \overrightarrow b \). Phép lấy hiệu hai vectơ được gọi là phép trừ vectơ.
- Quy tắc hiệu: Với ba điểm O, M, N, ta có \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {ON} - \overrightarrow {OM} \)
1.3. Tích của một vectơ với một số
Tích của một vectơ \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \) với một số thực k > 0 là một vectơ, ki hiệu là \(k\overrightarrow a \), cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow a\) và có độ dài bằng \(k\left| {\overrightarrow a } \right|\).
Tích của một vectơ \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \) với một số thực k <0 là một vectơ, ki hiệu là \(k\overrightarrow a \), ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow a\) và có độ dài bằng \(-k\left| {\overrightarrow a } \right|\).
- Các tính chất của phép nhân vectơ với một số
Với hai vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b\) và hai số thực k, t, ta luôn có:
\(\begin{array}{l}
*k\left( {t\overrightarrow a } \right) = \left( {kt} \right)\overrightarrow a \\
*\left( {k + t} \right)\overrightarrow a = k\overrightarrow a + t\overrightarrow a \\
*k\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = k\overrightarrow a + k\overrightarrow b ;\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right) = k\overrightarrow a - k\overrightarrow b .\\
*1\overrightarrow a = \overrightarrow a ;\left( { - 1} \right)\overrightarrow a = - \overrightarrow a
\end{array}\)
1.4. Vectơ trong mặt phẳng tọa độ
a) Tọa độ của vectơ
Với mỗi vectơ ứ trên mặt phẳng Oxy, có duy nhất cặp số \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) sao cho \(\overrightarrow u = {x_0}\overrightarrow i + {y_0}\overrightarrow j \). Ta nói vectơ \(\overrightarrow u \) có toạ độ \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và viết \(\overrightarrow u = \left( {{x_0};{y_0}} \right)\) hay \(\overrightarrow u \left( {{x_0};{y_0}} \right)\). Các số \({{x_0},{y_0}}\) tương ứng được gọi là hoành độ, tung độ của \(\overrightarrow u \).
b) Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
- Cho hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( {x;y} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {x;y} \right)\). Khi đó:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{*\vec u + \vec v = \left( {x + x';y + y'} \right);}\\
{*\vec u - \vec v = \left( {x - x';y - y'} \right);}\\
{*k\vec u = \left( {kx;ky} \right),k \in R}
\end{array}\)
- Nếu điểm M có toạ độ (x; y) thì vecto \(\overrightarrow {OM} \) có toạ độ (x; y) và độ dài \(\left| {\overrightarrow {OM} } \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \).
- Với hai điểm M(x; y) và N(x'; y') thì \(\overrightarrow {MN} = \left( {x' - x;y' - y} \right)\) và khoảng cách giữa hai điểm M, N là \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \sqrt {{{\left( {x' - x} \right)}^2} + {{\left( {y' - y} \right)}^2}} \)
1.5. Tích vô hướng của hai vectơ
a) Góc giữa hai vectơ
Cho hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) khác \({\vec 0}\). Từ một điểm A tuỳ ý, vẽ các vectơ \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow v \) (Hình cho bên dưới). Khi đó, số đo của góc BAC được gọi là số đo góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) hay đơn giản là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) kí hiệu là \(\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right)\).
b) Tích vô hướng của hai vectơ
Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) là một số, kí hiệu là \(\overrightarrow u .\overrightarrow v \), được xác định bởi công thức sau:
\(\overrightarrow u .\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.cos\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right)\)
c) Biểu thức tọa độ và tính chất của tích vô hướng
Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( {x';y'} \right)\) được tính theo công thức: \(\overrightarrow u .\overrightarrow v = xx' + yy'\)
Tính chất của tích vô hướng
Với ba vectơ \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow {\rm{w}} \) bất kì và mọi số thực k. ta có:
* \(\overrightarrow u .\overrightarrow v = \overrightarrow v .\overrightarrow u \) (tính chất giao hoán);
* \(\overrightarrow u .\left( {\overrightarrow v + \overrightarrow {\rm{w}} } \right) = \overrightarrow u .\overrightarrow v + \overrightarrow u .\overrightarrow {\rm{w}} \) (tính chất phân phối đối với phép cộng);
* \(\left( {k\overrightarrow u } \right).\overrightarrow v = k\left( {\overrightarrow u .\overrightarrow v } \right) = \overrightarrow u \left( {k.\overrightarrow v } \right)\).