1.1. Hàm số bậc hai
|
+ Định nghĩa: Hàm số bậc hai biến x là hàm số cho bởi công thức dạng \(y = f(x) = a{x^2} + bx + c\) với \(a,b,c \in \mathbb{R};a \ne 0.\) + Tập xác định: \(\mathbb{R}\) |
|---|
Ví dụ: Hàm số nào trong các hàm số sau đâylà hàm số bậc hai?
\(\begin{array}{l}
a)y = 2{x^2} + x\\
b)y = {x^3} + x + 1\\
c)y = \frac{{x + 1}}{{x + 2}}\\
d)y = - 3{x^2} - 1\\
e)y = \sqrt {5 - 2x}
\end{array}\)
1.2. Đồ thị hàm số bậc hai
+) Đồ thị hàm số bậc hai \(y = f(x) = a{x^2} + bx + c\) \((a \ne 0)\) là một parabol (P):
- Đỉnh \(S\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\)
- Trục đối xứng: đường thẳng \(x = - \frac{b}{{2a}}\)
- Bề lõm: quay lên trên nếu \(a > 0\), quay xuống dưới nếu \(a < 0\)
- Cắt Oy tại điểm \((0;c)\)
Chú ý: Nếu PT \(a{x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thì đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ lần lượt là 2 nghiệm này.
+) Vẽ đồ thị
1) Xác định đỉnh \(S\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\)
2) Vẽ trục đối xứng d: \(x = - \frac{b}{{2a}}\)
3) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị với trục tung (A(0;c)), trục hoành (nếu có).
Xác định \(B\left( {\frac{{ - b}}{a};c} \right)\) (là điểm đối xứng với A qua d)
4) Vẽ parabol đỉnh S, trục đối xứng d, đi qua các điểm tìm được.
1.3. Sự biến thiên của hàm số bậc hai
+) Bảng biến thiên
+) Kết luận:
|
|
\(a > 0\) |
\(a < 0\) |
|
Trên khoảng \(\left( { - \infty ;\frac{{ - b}}{{2a}}} \right)\) |
Hàm số nghịch biến |
Hàm số đồng biến |
|
Trên khoảng \(\left( {\frac{{ - b}}{{2a}}; + \infty } \right)\) |
Hàm số đồng biến |
Hàm số nghịch biến |
|
GTLN hoặc GTNN |
Đạt GTNN bằng \(\frac{{ - \Delta }}{{4a}}\) tại \(x = \frac{{ - b}}{{2a}}\) |
Đạt GTLN bằng \(\frac{{ - \Delta }}{{4a}}\) tại \(x = \frac{{ - b}}{{2a}}\) |
|
Tập giá trị |
\(T = \left[ {\left. {\frac{{ - \Delta }}{{4a}}; + \infty } \right)} \right.\) |
\(T = \left( {\left. { - \infty ;\frac{{ - \Delta }}{{4a}}} \right]} \right.\) |
Ví dụ: Lập bảng biến thiên của hàm số \(y = - {x^2} + 4x - 3\). Hàm số này có giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị đó.
Giải
Đỉnh S có tọa độ: \({x_s} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 4}}{{2.\left( { - 1} \right)}} = 2;{y_s} = - {2^2} + 4.2 - 3 = 1\)
Hay S(2; 1)
Vì hàm số bậc hai có a = -1 < 0 nên ta có bảng biến thiên sau:
Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 1 khi x = 2.
1.4. Ứng dụng của hàm số bậc hai
+) Tầm bay cao và tầm bay xa
Chọn điểm \((0;{y_0})\) là điểm xuất phát thì phương trình quỹ đạo của cầu lông khi rời mặt vợt là:
\(y = \frac{{ - g.{x^2}}}{{2.{v_0}^2.{{\cos }^2}\alpha }} + \tan \alpha .x + {y_0}\)
Trong đó:
\(g\) là giá tốc trọng trường ( \( \approx 9,8\;m/{s^2}\))
\(\alpha \) là góc phát cầu (so với phương ngang của mặt đất)
\({v_0}\) là vận tốc ban đầu của cầu
\({y_0}\) là khoảng cách từ vị trí phát cầu đến mặt đất
Quỹ đạo chuyển động của cầu lông là một parabol.
- Vị trí cao nhất tại đỉnh parabol, gọi là tầm bay cao;
- Khoảng cách từ nơi đứng phát cầu đến điểm cham đất, gọi là tầm bay xa.
+) Bài toán ứng dụng
Khi cầu bay tới vị trí lưới phân cách, nếu nó ở bên trên mặt lưới và điểm rơi không ra khỏi đường biến phía sân đối phương thì lần phát cầu được xem là hợp lệ.
