1.1. Tổng của hai vectơ
|
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a\) và \(\overrightarrow b\). Từ một điểm A tùy ý, lấy hai điểm B, C sao cho \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a \), \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow b \). Khi đó \(\overrightarrow {AC} \) được gọi là tổng của hai vecto \(\overrightarrow a\), \(\overrightarrow b\) được kí hiệu là \(\overrightarrow a + \overrightarrow b \). Vậy \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \) |
|---|
Quy tắc ba điểm:
Với 3 điểm M, N, P ta có: \(\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NP} = \overrightarrow {MP} \)
Quy tắc hình bình hành:
Nếu OABC là hình bình hành thì ta có \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OB} \)
- Với ba vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) tuỳ ý:
- Tính chất giao hoán: \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow b + \overrightarrow a \)
- Tính chất kết hợp: \(\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) + \overrightarrow c = \overrightarrow a + \left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)\)
- Tính chất của vectơ-không: \(\overrightarrow a + \overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 + \overrightarrow a = \overrightarrow a \)
Ví dụ: Cho hình Vuông ABCD với cạnh có độ dài bằng 1. Tính độ dài của các vectơ \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {BD} \).
Giải
Do \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \) nên \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {DB} \)
Vậy \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CB} } \right| = \left| {\overrightarrow {DB} } \right| = DB = \sqrt 2 \)
Ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {BD} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} } \right) + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AC} \)
Do đó \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {BD} } \right| = AC = \sqrt 2 \)
1.2. Hiệu của hai vectơ
|
- Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow a \) được gọi là vectơ đối của vectơ \(\overrightarrow a \) - Vectơ đối của \(\overrightarrow a \) được kí hiệu là \(-\overrightarrow a \). - Vectơ \(\overrightarrow 0 \) được coi là vectơ đối của chính nó. - Vectơ \(\overrightarrow a + \left( { - \overrightarrow b } \right)\) được gọi là hiệu của hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) và được kí hiệu là \(\overrightarrow a - \overrightarrow b \). Phép lấy hiệu hai vectơ được gọi là phép trừ vectơ. |
|---|
Chú ý:
- Hai vectơ đối nhau khi và chỉ khi tổng của chúng bằng \(\overrightarrow 0 \).
- Nếu \(\overrightarrow b + \overrightarrow c = \overrightarrow a \) thì \(\overrightarrow a - \overrightarrow b = \overrightarrow a + \left( { - \overrightarrow b } \right) = \overrightarrow c + \overrightarrow b + \left( { - \overrightarrow b } \right) = \overrightarrow c + \overrightarrow 0 = \overrightarrow c \)
- Với ba điểm O, M, N tuỷ ý, ta có \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {ON} = \left( { - \overrightarrow {OM} } \right) + \overrightarrow {ON} = \overrightarrow {ON} - \overrightarrow {OM} \)
- Quy tắc hiệu: Với ba điểm O, M, N, ta có \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {ON} - \overrightarrow {OM} \)
Ví dụ: Cho tứ giác ABCD cóI, J lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của IJ. Chứng minh \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \)
Giải
Do I, J, O lần lượt là trung điểm của AB, CD và Ị nên:
\(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 ;\overrightarrow {JC} + \overrightarrow {JD} = \overrightarrow 0 ;\overrightarrow {OI} + \overrightarrow {OJ} = \overrightarrow 0 \)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \left( {\overrightarrow {OI} + \overrightarrow {IA} } \right) + \left( {\overrightarrow {OI} + \overrightarrow {IB} } \right) + \left( {\overrightarrow {OJ} + \overrightarrow {JC} } \right) + \left( {\overrightarrow {OJ} + \overrightarrow {JD} } \right)\\
= \left( {\overrightarrow {OI} + \overrightarrow {OJ} } \right) + \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} } \right) + \left( {\overrightarrow {OI} + \overrightarrow {OJ} } \right) + \left( {\overrightarrow {JC} + \overrightarrow {JD} } \right)\\
= \overrightarrow 0
\end{array}\)