1.1. Toạ độ của một điểm
Để xác định toạ độ của một điểm M tuỳ ý trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta làm như sau:
+ Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với trục hoành và cắt trục hoành tại điểm H ứng với số a. Số a là hoành độ của điểm M.
+Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với trục tung và cắt trục tung tại điểm K ứng với số b. Số b là tung độ của điểm /M.
Cặp số (a; b) là toạ độ của điểm M trong mặt phẳng toạ độ Oxy. Ta kí hiệu là M(a; b).
1.2. Toạ độ của một vectơ
Toạ độ của điểm M được gọi là toạ độ của vectơ \(\overrightarrow {OM} \).
Nếu \(\overrightarrow {OM} \) có toạ độ (a ; b) thì ta viết \(\overrightarrow {OM} \) = (a; b), trong đó a gọi là hoành độ của vectơ \(\overrightarrow {OM} \) và b gọi là tung độ của vectơ \(\overrightarrow {OM} \) (Hình sau).
|
+ Với mỗi vectơ \(\overrightarrow u \) trong mặt phẳng toạ độ Oxy, toạ độ của vectơ \(\overrightarrow u \) là toạ độ của điểm A sao cho \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow u \). + Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, nếu \(\overrightarrow u = \left( {a;b} \right)\) thì \(\overrightarrow u = a\overrightarrow i + b\overrightarrow j \). Ngược lại, nếu \(\overrightarrow u = a\overrightarrow i + b\overrightarrow j \) thì \(\overrightarrow u = \left( {a;b} \right)\). |
|---|
Chú ý: Với \(\overrightarrow a = \left( {{x_1};{y_1}} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {{x_2};{y_2}} \right)\), ta có: \(\overrightarrow a = \overrightarrow b = \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = {x_2}\\
{y_1} = {y_2}
\end{array} \right.\)
Như vậy, mỗi vectơ hoàn toàn được xác định khi biết toạ độ của nó.
Ví dụ: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(1; 2) và vectơ \(\overrightarrow u \) = (3 ;- 4).
a) Biểu diễn vectở \(\overrightarrow OA \) qua vectơ \(\overrightarrow i \) và \(\overrightarrow j \).
b) Biểu diễn vectơ \(\overrightarrow u \) qua vectơ \(\overrightarrow i \) và \(\overrightarrow j \).
Giải
a) Vì điểm A có toạ độ là (1 ; 2) nên \(\overrightarrow OA \) = (1; 2). Do đó:
\(\overrightarrow {OA} = 1\overrightarrow i + 2\overrightarrow j = \overrightarrow i + 2\overrightarrow j \).
b) Vì \(\overrightarrow u \) =(3; - 4) nên \(\overrightarrow u = 3\overrightarrow i + \left( { - 4} \right)\overrightarrow j = 3\overrightarrow i - 4\overrightarrow j \).
1.3. Liên hệ giữa toạ độ của điểm và toạ độ của vectơ
|
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai điểm \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right)\) và \(B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\). Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}} \right)\) |
|---|
Ví dụ: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ba điểm A(1; 1), B(4; 3), C(-1; -2) không thẳng hàng.
a) Tìm toạ độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} \).
b) Tìm toạ độ của điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
Giải
a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {4 - 1;3 - 1} \right)\). Vậy \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;2} \right)\).
b) Gọi toạ độ của điểm D là \(\left( {{x_D};{y_D}} \right)\), tả có: \(\overrightarrow {DC} = \left( { - 1 - {x_D}; - 2 - {y_D}} \right)\).
Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi:
\(\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AB} \Leftrightarrow \overrightarrow {DC} = \left( {3;2} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 1 - {x_D} = 3\\
- 2 - {y_D} = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_D} = - 4\\
{y_D} = - 4
\end{array} \right.\)
Vậy D(- 4;- 4).