2.1. Tọa độ của điểm và của vectơ
a) Hệ tọa độ
- Trong không gian, cho ba trục xOx', yOy', zOz' vuông góc với nhau từng đôi một.
- Các vectơ \(\overrightarrow i ,\,\,\overrightarrow j ,\,\overrightarrow k\) lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục xOx', yOy', zOz' với: \(\left | \vec{i} \right |=\left | \vec{j} \right |=\left | \vec{k} \right |=1.\)
- Hệ trục như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Oxyz, với O là gốc tọa độ.
b) Tọa độ của vectơ trong không gian
- Trong không gian Oxyz, cho vectơ \(\vec{u}\) tồn tại duy nhất bộ số \((x,y,z)\) sao cho: \(\overrightarrow{u}=(x;y;z)\Leftrightarrow \vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}.\)
- Bộ số: \((x,y,z)\) được gọi là tọa độ của vectơ \(\vec{u}\).
c) Tọa độ điểm trong không gian
- Trong không gian Oxyz, cho điểm A tùy ý tồn tại duy nhất bộ số \((x_A,y_A,z_A)\) sao cho: \(A(x_A,y_A,z_A)\Leftrightarrow \overrightarrow{OA}=(x_A;y_A;z_A).\)
- Bộ số \((x_A,y_A,z_A)\) được gọi là tọa độ điểm A.
2.2. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
- Cho hai vectơ \(\vec{u}=(x;y;z)\) và \(\vec{u'}=(x';y'; z')\):
+ \(\vec{u}+\vec{u'}=(x+x';y+y';z+ z')\)
+ \(\vec{u}-\vec{u'}=(x-x';y-y';z- z')\)
+ \(k\vec{u}=(kx;ky;kz)\)
+ \(\vec{u}=u'\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=x'\\ y=y'\\ z=z' \end{matrix}\right.\)
+ \(\vec{u}=\vec{u'}\) cùng phương \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=kx'\\ y=ky'\\ z=kz' \end{matrix}\right.\)
+ \(\left | \vec{u} \right |=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)
- Cho hai điểm \(A(x_A,y_A,z_A)\); \(B(x_B,y_B,z_B)\):
+ \(\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)\)
+ \(AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}\)
+ \(\overrightarrow{IA}=k.\overrightarrow{IB}(k\neq 1)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_I=\frac{x_A-k.x_B}{1-k}\\ \\ y_I=\frac{y_A-k.y_B}{1-k}\\ \\ z_I=\frac{z_A-k.z_B}{1-k} \end{matrix}\right.\)
+ Đặc biệt I là trung điểm AB thì: \(\left\{\begin{matrix} x_I=\frac{x_A+x_B}{2}\\ \\ y_I=\frac{y_A+y_B}{2}\\ \\ z_I=\frac{z_A+z_B}{2} \end{matrix}\right.\)
+ G là trọng tâm \(\Delta ABC\): \(\left\{\begin{matrix} x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}\\ \\ y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\\ \\ z_G=\frac{z_A+z_B+z_C}{3} \end{matrix}\right.\)
+ G là trọng tâm của tứ diện ABCD: \(\left\{\begin{matrix} x_G=\frac{x_A+x_B+x_C+x_D}{4}\\ \\ y_G=\frac{y_A+y_B+y_C+y_D}{4}\\ \\ z_G=\frac{z_A+z_B+z_C+z_D}{4} \end{matrix}\right.\)
2.3. Tích vô hướng
- Công thức tính tích vô hướng: \(\vec{a}.\vec{b}=\left | \vec{a} \right |.\left | \vec{b} \right |.cos(\vec{a},\vec{b})\).
- Biểu thức tọa độ của tích vô hướng: \(\left.\begin{matrix} \vec{a}=(x_1;y_1;z_1)\\ \vec{b}=(x_2;y_2;z_2) \end{matrix}\right\} \vec{a}.\vec{b} = x_1.x_2 + y_1.y_2 + z_1.z_2\).
- Công thức tính góc giữa hai vectơ: \(cos(\vec a,\vec b) = \frac{{\vec a.\vec b}}{{\left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|}}.\)
2.4. Phương trình mặt cầu
- Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm I(a;b;c), bán kính R có phương trình: \((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2.\)
- Nhận xét: Phương trình mặt cầu có thể viết dưới dạng \(x^2+y^2+z^2-2Ax-2By-2Cz+D=0\), điều kiện \(A^2+B^2+C^2-D> 0\).
- Khi đó, mặt cầu có tâm \(I(A;B;C)\), bán kính \(R = \sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2} - D} .\)