2.1. Khái niệm lôgarit
- Cho hai số thực dương \(a\) và \(b\) với \(a\ne1\). Số \(\alpha\) thỏa mãn \(a^{\alpha}=b\) được gọi là lôgarit có số \(a\) của \(b\), kí hiệu \(\log_ab=\alpha\).
- Vậy: \(\alpha = {\log _a}b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 < a \ne 1,b > 0\\ {a^\alpha } = b \end{array} \right.\)
- Ví dụ:
+ \(\log_2\sqrt{2}=\frac{1}{2}\) vì \(2^\frac{1}{2}=\sqrt{2}\)
+ \(\log_2\frac{1}{8}=-3\) vì \(2^{-3}=\frac{1}{8}\)
+ \(\log_23=1\) vì \(3^1=3\)
+ \(\log_a1=0\) vì \(a^0=1\)
+ \(\log_23=x\) vì \(2^x=3\)
2.2. Các tính chất của lôgarit
a) Qui tắc tính lôgarit
- Cho số thực \(a\) thỏa \(0< a\neq 1\), ta có các tính chất sau:
- Với \(b>0\): \(a^{\log_ab}=b\)
- Lôgarit của một tích:
+ Với \(x_1,x_2>0\): \(\log_a(x_1.x_2)=\log_ax_1+\log_ax_2\)
+ Mở rộng với \(x_1,x_2,..., x_n>0\): \(\log_a(x_1.x_2....x_n)=\log_ax_1+\log_ax_2+...+\log_ax_n\)
- Lôgarit của một thương
+ Với \(x_1,x_2>0 :\ \log_a\frac{x_1}{x_2}=\log_ax_1-\log_ax_2\)
+ Với \(x> 0: \log_a\frac{1}{x}=-\log_ax\)
- Lôgarit của một lũy thừa:
+ Với \(b>0:\) \(\log_ab^x=x\log_ab\)
+ \(\forall x\): \(\log_aa^x=x\)
b) Công thức đổi cơ số:
- Cho số thực \(a\) thỏa \(0< a\neq 1\), ta có các tính chất sau:
+ Với \(00:\) \(\log_ab=\frac{\log_c \ b}{\log_c \ a}\)
+ Lấy \(0 < b \ne 1\), chọn \(c=b\) ta có: \({\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}}\)
+ Với \(\alpha \neq 0,b>0\): \(\log_{a^\alpha }b^\beta =\frac{\beta }{\alpha }\log_ab\)
+ Với \(\alpha \neq 0, b>0:\) \(\log_{a^\alpha }b=\frac{1}{\alpha }\log_ab\)
c) So sánh hai lôgarit cùng cơ số
- Nếu \(a>1\) thì \(\log_ax>\log_ay \Leftrightarrow x>y>0\)
2.3. Lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên
a) Lôgarit thập phân
- Lôgarit cơ số 10 của số \(x>0\) được gọi là lôgarit thập phân của \(x\), kí hiệu là \(\log x\) hoặc \(\lg x\).
b) Lôgarit tự nhiên
- Lôgarit cơ số \(e\) của số \(a>0\) được gọi là lôgarit tự nhiên (hay lôgarit Nê-pe) của số a, kí hiệu \(\ln a.\)