2.1. Định nghĩa
- Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên khoảng (a;b) và điểm \(x_0\in(a;b)\):
+ Hàm số \(f(x)\) đạt cực đại tại \(x_0\) nếu \(f(x_0)>f(x) \ \forall x\in (x_0-h,x_0+h) \setminus \{ x_0 \},h>0\)
+ Hàm số \(f(x)\) đạt cực tiểu tại x0 nếu \(f(x_0)0.
2.2. Điều kiện cần và điều kiện đủ để hàm số có cực trị
a) Điều kiện cần để hàm số có cực trị
- \(f(x)\) đạt cực trị tại \(x_0\), có đạo hàm tại \(x_0\) thì \(f'(x_0)=0\).
b) Điều kiện đủ để hàm số có điểm cực đại và cực tiểu
- Điều kiện thứ nhất: Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên khoảng \(K = ({x_0} - h;{x_0} + h)\,(h > 0)\) và có đạo hàm trên K hoặc trên \(K\backslash \{ x_0 \}\):
+ Nếu \(\begin{cases} f'(x) < 0 \; \forall x \in (x_0 - h; x_0) \\ f'(x) > 0 \; \forall x \in (x_0; x_0 + h) \end{cases}\) thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số \(f(x)\).
+ Nếu \(\begin{cases} f'(x) > 0 \; \forall x \in (x_0 - h; x_0) \\ f'(x) < 0 \; \forall x \in (x_0; x_0 + h) \end{cases}\) thì x0 là điểm cực đại của hàm số \(f(x)\).
- Cách phát biểu khác dễ hiểu hơn: Đi từ trái sang phải
+ Nếu \(f'(x)\) đổi dấu từ - sang + khi qua \(x_0\) thì \(x_0\) là điểm cực tiểu.
+ Nếu \(f'(x)\) đổi dấu từ + sang - khi qua \(x_0\) thì \(x_0\) là điểm cực đại.
- Điều kiện thứ hai: Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm cấp hai trên khoảng \(K = ({x_0} - h;{x_0} + h)\,(h > 0)\):
+ Nếu \(f'(x_0)=0\), \(f''(x_0)<0\) thì \(x_0\) là điểm cực đại của hàm số \(f(x)\).
+ Nếu \(f'(x_0)=0\), \(f''(x_0)>0\) thì \(x_0\) là điểm cực tiểu của hàm số \(f(x)\).
2.3. Qui tắc tìm cực trị
a) Quy tắc 1
- Tìm tập xác định.
- Tính \(f'(x)\). Tìm các điểm tại đó \(f'(x)=0\) hoặc \(f'(x)\) không xác định.
- Lập bảng biến thiên.
- Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực đại, cực tiểu.
b) Quy tắc 2
- Tìm tập xác định.
- Tính \(f'(x)\). Tìm các nghiệm xi của phương trình \(f'(x)=0\).
- Tính \(f''(x)\) và \(f''(x_i)\) suy ra tính chất cực trị của các điểm xi.
- Chú ý: nếu \(f''(x_i)=0\) thì ta phải dùng quy tắc 1 để xét cực trị tại xi.