2.1. Nguyên hàm và tính chất
a) Khái niệm nguyên hàm
- Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của \(\mathbb{R}.\)
- Cho hàm số \(f(x)\) xác định trên K.
- Hàm số \(F(x)\) được gọi là nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên K nếu \(F'(x) = f(x)\) với mọi \(x \in K.\)
- Định lý 1: Nếu \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số \(G(x) = F(x)+C\) cũng là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên K.
- Định lý 2: Nếu \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên K thì mọi nguyên hàm của \(f(x)\) trên K đều có dạng \(F(x)+C\) với \(C\) là một hằng số tùy ý. Kí hiệu họ nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) là \(\int f(x)dx.\) Khi đó : \(\int f(x)dx=F(x)+C,C\in \mathbb{R}.\)
b) Tính chất
- Tính chất 1: \(\int f'(x)dx=f(x)+C,C\in \mathbb{R}.\)
- Tính chất 2: \(\int fk(x)dx=k\int f(x)dx\) (với k là hằng số khác 0).
- Tính chất 3: \(\int {\left( {f(x) \pm g(x)} \right)dx} = \int {f(x)dx} \pm \int {g(x)dx}.\)
c) Sự tồn tại của nguyên hàm
- Định lí 3: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
d) Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
- Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp thương gặp:
+ \(\int {kdx = kx + C,\,k \in \mathbb{R}}\)
+ \(\int {{x^\alpha }dx = \frac{1}{{1 + \alpha }}.{x^{\alpha + 1}} + C\,(\alpha \ne - 1)}\)
+ \(\int {\frac{{dx}}{x} = \ln \left| x \right| + C}\)
+ \(\int {\frac{{dx}}{{\sqrt x }} = 2\sqrt x + C}\)
+ \(\int {{e^x}dx = {e^x} + C}\)
+ \(\int {{a^x}dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\,\,(0 < a \ne 1)}\)
+ \(\int {\cos xdx = \sin x + C}\)
+ \(\int {\sin xdx = - \cos x + C}\)
+ \(\int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}} = \tan x + C}\)
+ \(\int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}} = - \cot x + C}\)
- Ngoài ra còn có một số công thức thường gặp khác:
+ \(\int {{{({\rm{ax}} + b)}^k}dx = \frac{1}{a}\frac{{{{{\rm{(ax}} + b)}^{k + 1}}}}{{k + 1}}\, + C\,,(a \ne 0,\,k \ne - 1)}\)
+ \(\int {\frac{1}{{{\rm{ax}} + b}}dx = \frac{1}{a}\ln \left| {{\rm{ax}} + b} \right|} + C,\,a \ne 0\)
+ \(\int {{e^{{\rm{ax}} + b}}dx = \frac{1}{a}{e^{{\rm{ax}} + b}} + C}\)
+ \(\int {c{\rm{os}}({\rm{ax}} + b)dx = \frac{1}{a}\sin ({\rm{ax}} + b)} + C\)
+ \(\int {\sin ({\rm{ax}} + b)dx = - \frac{1}{a}c{\rm{os}}({\rm{ax}} + b)} + C\)
2.2. Các phương pháp tính nguyên hàm
a) Phương pháp đổi biến số
- Định lí 1: Cơ sở của phương pháp đổi biến số là định lý sau: Cho hàm số \(u = u(x)\) có đạo hàm và liên tục trên K và hàm số \(y = f({\rm{u)}}\) liên tục sao cho \(f[u(x)]\) xác định trên K. Khi đó nếu \(F\) là một nguyên hàm của \(f\), tức là \(\int {f(u)du = F(u) + C}\) thì \(\int {f[u(x){\rm{]dx = F[u(x)] + C}}}.\)
- Hệ quả: Với \(u = ax + b\,(a \ne 0),\) ta có: \(\int {f(ax + b)dx} = \frac{1}{a}F(ax + b) + C\)
b) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
- Định lí 2: Nếu hai hàm số \(u=u(x)\) và \(v=v(x)\) có đạo hàm và liên tục trên K thì: \(\int {u(x)v'(x)dx} = u(x)v(x) - \int {u'(x)v(x)dx}\)
- Một số dạng thường gặp:
+ Dạng 1: \(\int {P(x).{e^{{\rm{ax}} + b}}dx\,,\,\,\int {P(x)\sin ({\rm{ax}} + b)dx\,,\,\int {P(x)c{\rm{os}}({\rm{ax}} + b)dx} } }\)
Cách giải: Đặt \(u = P(x)\,,\,dv = {e^{{\rm{ax}} + b}}dx\,\) hoặc \(dv = \sin (ax + b)dx,\,\,dv = \cos (ax + b)dx.\)
+ Dạng 2: \(\int {P(x)\ln ({\rm{ax}} + b)dx}\)
Cách giải: Đặt \(u = \ln ({\rm{ax}} + b)\,,\,dv = P(x)dx.\)