2.1. Khái niệm lũy thừa
- Cho \(n\) là một số nguyên dương.
+ Với \(a\) là số thực tùy ý, lũy thừa bậc \(n\) của \(a\) là tích của \(n\) thừa số \(a\): \({a^n} = \underbrace {a.a......a}_n\)
+ Với \(a\ne0\):
- \(a^0=1\)
- \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\)
- Trong biểu thức \(a^m\), ta gọi \(a\) là cơ số, số nguyên \(m\) là số mũ.
Chú ý:
- \(0^0\) và \(0^n\) không có nghĩa.
- Lũy thừa với số mũ nguyên có các tihs chất tương tự của lũy thừa với số mũ nguyên dương.
b) Lũy thừa với số mũ hữu tỉ
- Cho \(a\) là số thực dương và số hữu tỉ \(r=\frac{m}{n}\) trong đó \(m\in\mathbb{Z},n\in\mathbb{N},n\geq 2.\) Lũy thừa với số mũ \(r\) là số \(a^r\) xác đinh bởi: \({a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\).
c) Lũy thừa với số mũ thực
- Cho \(a\) là một số dương, \(\alpha\) là một số vô tỉ:
- Ta gọi giới hạn của dãy số \(\left( {{a^{{r_n}}}} \right)\) là lũy thừa của \(a\) với số mũ \(\alpha\), kí hiệu là \(a^{\alpha}.\)
\({a^\alpha } = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {a^{{r_n}}}\) với \(a = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {r_n}\).
2.2. Các tính chất quan trọng của lũy thừa
- Với số thực \(a>0\) ta có các tính chất sau:
+ \(a^x.a^y=a^{x+y} \ \ \ x, y\in \mathbb{R}\)
+ \(\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y} \ \ \ x, y \in \mathbb{R}\)
+ \((a^x)^y=a^{xy} \ \ \ x,y\in R\)
+ \(\sqrt[x]{a^y}=a^{\frac{y}{x}} \ \ \ x\in N, x\geq 2, y\in R\)
+ \((a.b)^x=a^x.b^x\)
+ \(\left ( \frac{a}{b} \right )^y=\frac{a^y}{b^y}\)
2.3. So sánh hai lũy thừa
- Cho số thực \(a\):
+ Nếu \(a>1\) thì \(a^x > a^y\Leftrightarrow x>y\).
+ Nếu \(0 < a < 1\) thì \(a^x > a^y\Leftrightarrow x < y\).