a) Phương trình mũ cơ bản

– Phương trình có dạng \({a^x} = b\left( {0 < a \ne 1} \right)\)

+) Với \(b > 0\) ta có \({a^x} = b \Leftrightarrow x = {\log _a}b\).

+) Với \(b \le 0\) phương trình vô nghiệm.

b) Phương pháp đặt ẩn phụ

– Kiểu 1: Đặt ẩn đưa về phương trình theo 1 ẩn mới

– Dạng 1: \(a.m^{2f(x)}+b.m^{f(x)}+c=0\)

+ Đặt \(t=m^{f(x)} \ \ \ (t>0)\)

+ Ta có: \(a.t^2+b.t+c=0\)

– Dạng 2: \(a.m^{f(x)}+b.n^{f(x)}+c=0\) trong đó \(m.n=1\)

+ Đặt \(t=n^{f(x)}\Rightarrow m^{f(x)}=\frac{1}{t} \ (t>0)\)

+ Ta có:   \(a.\frac{1}{t} + b.t + c = 0 \Leftrightarrow a + b.{t^2} + c.t = 0 \Leftrightarrow b.{t^2} + ct + a = 0\).

– Dạng 3: \(a.m^{2f(x)}+b.m^{f(x)}.n^{g(x)}+c.n^{2g(x)}=0\)

+ Chia 2 vế cho \(n^{2g(x)}\) ta có:

+ \(a.\left (\frac{m^{2f(x)}}{n^{2g(x)}} \right )^2+b.\left (\frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}} \right )^2+c=0\)

+ Đặt \(t=\frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}}\)

+ Ta có \(a.t^4+b.t^2+c=0\).

Kiểu 2: Đặt 1 ẩn, nhưng không làm mất ẩn ban đầu. Khi đó 

– Xem ẩn đầu là tham số

– Đưa về phương trình tích

– Đưa về hệ phương trình

Kiểu 3: Đặt nhiều ẩn. Khi đó

– Đưa về phương trình tích

– Đưa về hệ phương trình

c) Phương pháp sử dụng bất đẳng thức, tính đơn điệu của hàm số.

– Phương pháp:

+ Bước 1: Tìm điều kiện xác định.

+ Bước 2: Có thể làm một trong hai cách sau:

• Cách 1: Biến đổi phương trình sao cho một vế là hàm số đơn điệu, một vế là hằng số hoặc một vế là hàm đồng biến và vế còn lại là hàm số nghịch biến.
• Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng \(f\left( u \right) = f\left( v \right)\) với \(f\) là hàm số đơn điệu.

+ Bước 3: Nhẩm một nghiệm của phương trình trên.

+ Bước 4: Kết luận nghiệm duy nhất của phương trình.

2.2. Các phương pháp giải phương trình lôgarit

a) Phương pháp đưa về cùng cơ số

– Ví dụ: Giải phương trình \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{2x – 1}} = {2^{3x}}\)

– Ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{2x – 1}} = {2^{3x}}\\ \Leftrightarrow {2^{ – 2x + 1}} = {2^{3x}}\\ \Leftrightarrow  – 2x + 1 = 3x\\ \Leftrightarrow 1 = 5x\\ \Leftrightarrow x = \frac{1}{5}\end{array}\)

b) Phương pháp mũ hóa

– Phương trình có dạng \({\log _a}f\left( x \right) = g\left( x \right)\).

– Phương pháp:

+ Bước 1: Tìm điều kiện xác định.

+ Bước 2: Lấy lũy thừa cơ số \(a\) hai vế: \({\log _a}f\left( x \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = {a^{g\left( x \right)}}\)

+ Bước 3: Giải phương trình trên tìm \(x\).

+ Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận

c) Phương pháp đặt ẩn phụ

– Kiểu 1: Đặt 1 ẩn đưa về phương trình theo 1 ẩn mới.

– Kiểu 2: Đặt 1 ẩn nhưng không làm mất ẩn ban đầu. Khi đó, xử lý phương trình theo các cách sau:

+ Xem ẩn ban đầu là tham số.

+ Đưa về phương trình tích.

– Kiểu 3: Đặt nhiều ẩn. Khi đó, xử lý phương trình theo các cách sau:

+ Đưa về phương trình tích

+ Xem 1 ẩn là tham số

+ Biểu thức đồng bậc: đưa về phương trình theo 1 ẩn mới.

d) Phương pháp sử dụng bất đẳng thức, tính đơn điệu của hàm số.

– Phương pháp:

+ Bước 1: Tìm điều kiện xác định.

+ Bước 2: Có thể làm một trong hai cách sau:

• Cách 1: Biến đổi phương trình sao cho một vế là hàm số đơn điệu, một vế là hằng số hoặc một vế là hàm đồng biến và vế còn lại là hàm số nghịch biến.
• Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng \(f\left( u \right) = f\left( v \right)\) với \(f\) là hàm số đơn điệu.

+ Bước 3: Nhẩm một nghiệm của phương trình trên.

+ Bước 4: Kết luận nghiệm duy nhất của phương trình.