2.1. Hàm số mũ

a) Định nghĩa hàm số mũ

– Cho số thực dương \(a\) khác 1.

– Hàm số \(y=a^x\) được gọi là hàm số mũ cơ số \(a\).

b) Tính chất hàm số mũ

– Tập xác định: \(\mathbb{R}.\)

– Tập giá trị: \((0;+\infty )\)

– Với \(a>1\) hàm số \(y=a^x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

– Với \(0 < a < 1\) thì hàm số luôn nghịch biến

– Đồ thị hàm số mũ nhận trục \(Ox\) làm tiệm cận ngang.

 

c) Đạo hàm của hàm số mũ

– Hàm số \(y=e^x\) có đạo hàm với mọi \(x\) và: \(\left ( e^x \right )’=e^x\)

– Hàm số \(y=a^x(a>0,a\ne 1)\) có đạo hàm tại mọi \(x\) và: \(\left( {{a^x}} \right)’ = {a^x}{\mathop{\rm lna}\nolimits}\)

– Đối với hàm hợp:

+ ​\(({e^u})’ = u’.{e^u}\)

+ ​\(({a^u})’ = {a^u}.\ln a.u’\)

2.2. Hàm số Lôgarit

a) Định nghĩa hàm số Lôgarit

– Cho số thực dương \(a\) khác 1.

– Hàm số \(y=\log_ax\) được gọi là hàm số lôgarit cơ số \(a.\)

b) Tính chất hàm số Lôgarit

– Tập xác định: \(\left( {0; + \infty } \right).\)

– Tập giá trị: \(\mathbb{R}.\)

– Với \(a>1\): \(y=\log_ax\) là hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right).\)

– Với \(0< a < 1\) thì hàm số luôn nghịch biến

– Với \(x_1>0,x_2>0\): \(\log_ax_1=\log_ax_2\Leftrightarrow x_1=x_2\)

c) Đạo hàm của hàm số logarit

– Đạo hàm:

+ \(\left( {{{\log }_a}x} \right)’ = \frac{1}{{x\ln a}}\)

+ \(\left( {{{\log }_a}\left| x \right|} \right)’ = \frac{1}{{x\ln a}}\)

+ \(\left( {\ln x} \right)’ = \frac{1}{x}\)

– Đối với hàm hợp:

+ ​\(\left( {{{\log }_a}u} \right)’ = \frac{{u’}}{{u.\ln a}}\)

+ ​\(\left( {\ln u} \right)’ = \frac{{u’}}{{\ln u}}\)