– Cho hai số thực dương \(a\) và \(b\) với \(a\ne1\). Số \(\alpha\) thỏa mãn \(a^{\alpha}=b\) được gọi là lôgarit có số \(a\) của \(b\), kí hiệu \(\log_ab=\alpha\).

– Vậy: \(\alpha = {\log _a}b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 < a \ne 1,b > 0\\ {a^\alpha } = b \end{array} \right.\)

– Ví dụ:

+ \(\log_2\sqrt{2}=\frac{1}{2}\) vì \(2^\frac{1}{2}=\sqrt{2}\)

+ \(\log_2\frac{1}{8}=-3\) vì \(2^{-3}=\frac{1}{8}\)

+ \(\log_23=1\) vì \(3^1=3\)

+ \(\log_a1=0\) vì \(a^0=1\)

+ \(\log_23=x\) vì \(2^x=3\)

a) Qui tắc tính lôgarit

– Cho số thực \(a\) thỏa \(0< a\neq 1\), ta có các tính chất sau:

– Với \(b>0\): \(a^{\log_ab}=b\)

– Lôgarit của một tích:

+ Với \(x_1,x_2>0\): \(\log_a(x_1.x_2)=\log_ax_1+\log_ax_2\)

+ Mở rộng với \(x_1,x_2,…, x_n>0\): \(\log_a(x_1.x_2….x_n)=\log_ax_1+\log_ax_2+…+\log_ax_n\)

– Lôgarit của một thương

+ Với \(x_1,x_2>0 :\ \log_a\frac{x_1}{x_2}=\log_ax_1-\log_ax_2\)

+ Với \(x> 0: \log_a\frac{1}{x}=-\log_ax\)

– Lôgarit của một lũy thừa:

+ Với \(b>0:\) \(\log_ab^x=x\log_ab\)

+ \(\forall x\): \(\log_aa^x=x\)

b) Công thức đổi cơ số:

– Cho số thực \(a\) thỏa \(0< a\neq 1\), ta có các tính chất sau:

+ Với \(00:\) \(\log_ab=\frac{\log_c \ b}{\log_c \ a}\)

+ Lấy \(0 < b \ne 1\), chọn \(c=b\) ta có: \({\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}}\)

+ Với \(\alpha \neq 0,b>0\): \(\log_{a^\alpha }b^\beta =\frac{\beta }{\alpha }\log_ab\)

+ Với \(\alpha \neq 0, b>0:\) \(\log_{a^\alpha }b=\frac{1}{\alpha }\log_ab\)

c) So sánh hai lôgarit cùng cơ số

– Nếu \(a>1\) thì \(\log_ax>\log_ay \Leftrightarrow x>y>0\)

a) Lôgarit thập phân

– Lôgarit cơ số 10 của số \(x>0\) được gọi là lôgarit thập phân của \(x\), kí hiệu là \(\log x\) hoặc \(\lg x\).

b) Lôgarit tự nhiên

– Lôgarit cơ số \(e\) của số \(a>0\) được gọi là lôgarit tự nhiên (hay lôgarit Nê-pe) của số a, kí hiệu \(\ln a.\)