– Hàm số luỹ thừa là hàm số có dạng \(y=x^{\alpha}\), trong đó \(\alpha\) là một hằng số tuỳ ý.
Từ định nghĩa các luỹ thừa, ta thấy: 

+ Hàm số \(y=x^n\) với n nguyên dương, xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

+ Hàm số \(y=x^n\), với n nguyên âm hoặc n = 0, xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).

+ Hàm số \(y=x^{\alpha}\), với \(\alpha\) không nguyên, có tập xác định là tập hợp các số thực dương \(\left( {0; + \infty } \right)\)

– Người ta chứng minh được rằng hàm số lũy thừa liên tục trên tập xác định của nó.

– Chú ý: Theo định nghĩa, đẳng thức \(\sqrt[n]{x} = {x^{\frac{1}{n}}}\) chỉ xảy ra nếu \(x>0\) do đó, hàm số \(y=x^\frac{1}{n}\) không đồng nhất với hàm số \(y = \sqrt[n]{x}(n \in {\mathbb{N}^*})\). Chẳng hạn, hàm số \(y = \sqrt[3]{x}\) là hàm số căn bậc ba, xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\); còn hàm số luỹ thừa \(y=x^\frac{1}{3}\) chỉ xác định trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

a) Định lý 

– Hàm số luỹ thừa \(y = {x^\alpha }(\alpha \in \mathbb{R})\) có đạo hàm tại mọi điểm \(x>0\) và \(\left( {{x^\alpha }} \right)’ = \alpha {x^{\alpha – 1}}\).

– Nếu hàm số \(u=u(x)\) nhận giá trị dương và có đạo hàm trên \(J\) thì hàm số \(y = {u^\alpha }(x).\) cũng có đạo hàm trên \(J\) và \(\left( {{u^\alpha }\left( x \right)} \right)’ = \alpha .{u^{\alpha – 1}}(x).u'(x)\).

b) Chú ý: 

– Áp dụng định lí trên, ta dễ dàng chứng minh công thức đạo hàm của hàm số căn bậc n sau đây: \(\left( {\sqrt[n]{x}} \right)’ = \frac{1}{{n\sqrt[n]{{{x^{n – 1}}}}}}\) (với mọi \(x>0\) nếu n chẵn, với mọi \(x\ne0\) nếu n lẻ).

– Nếu \(u=u(x)\) là hàm số có đạo hàm trên \(J\) và thoả mãn điều kiện \(u(x)>0\) với mọi \(x \in J\) khi n chẵn, \(u(x)\ne0\) với mọi \(x \in J\) khi n lẻ thì:

\(\left( {\sqrt[n]{{u(x)}}} \right)’ = \frac{{u'(x)}}{{n\sqrt[n]{{{u^{n – 1}}(x)}}}}\,\left( {\forall x \in J} \right)\)

– Nhận xét: Do \(1^\alpha =1\) với mọi \(\alpha\) nên đồ thị của mọi hàm số lũy thừa đều đi qua điểm (1;1).

– Tập xác định của hàm số lũy thừa luôn chưa khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) với mọi \(\alpha \in \mathbb{R}\). 

– Trong trường hợp tổng quát ta khảo sát hàm số \(y=x^{\alpha}\) trên khoảng này, ta được bảng tóm tắt sau:

– Hình dạng của đồ thị hàm số lũy thừa trong các trường hợp xét trên tập \(\left( {0; + \infty } \right)\):

 

– Chú ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó.