– Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên khoảng (a;b) và điểm \(x_0\in(a;b)\):

+ Hàm số \(f(x)\) đạt cực đại tại \(x_0\) nếu \(f(x_0)>f(x) \ \forall x\in (x_0-h,x_0+h) \setminus \left \{ x_0 \right \},h>0\)

+ Hàm số \(f(x)\) đạt cực tiểu tại x0 nếu \(f(x_0)0\).

a) Điều kiện cần để hàm số có cực trị

– \(f(x)\) đạt cực trị tại \(x_0\), có đạo hàm tại \(x_0\) thì \(f'(x_0)=0\).

b) Điều kiện đủ để hàm số có điểm cực đại và cực tiểu

– Điều kiện thứ nhất: Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên khoảng \(K = ({x_0} – h;{x_0} + h)\,(h > 0)\) và có đạo hàm trên K hoặc trên \(K\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\):

+ Nếu \(\left\{ \begin{array}{l}
f'(x) < 0\;\;\forall x \in \left( {{x_0} – h;x{}_0} \right)\\
f'(x) > 0\;\;\forall x \in \left( {x{}_0;{x_0} + h} \right)
\end{array} \right.\)  thì x₀ là điểm cực tiểu của hàm số \(f(x)\).

+  Nếu \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{f'(x) > 0\;\;\forall x \in \left( {{x_0} – h;{x_0}} \right)}\\
{f'(x) < 0\;\;\forall x \in \left( {{x_0};{x_0} + h} \right)}
\end{array}} \right.\) thì x₀ là điểm cực đại của hàm số \(f(x)\).

– Cách phát biểu khác dễ hiểu hơn: Đi từ trái sang phải

+ Nếu \(f(x)\) đổi dấu từ – sang + khi qua _{\(x_0\)} thì \(x_0\) là điểm cực tiểu.

+ Nếu \(f(x)\) đổi dấu từ + sang – khi qua \(x_0\) thì \(x_0\) là điểm cực đại.

– Điều kiện thứ hai: Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm cấp hai trên khoảng \(K = ({x_0} – h;{x_0} + h)\,(h > 0)\):

+ Nếu \(f'(x_0)=0\), \(f”(x_0)<0\) thì \(x_0\) là điểm cực đại của hàm số \(f(x)\).

+ Nếu \(f'(x_0)=0\), \(f”(x_0)>0\) thì \(x_0\) là điểm cực tiểu của hàm số \(f(x)\).

a) Quy tắc 1

– Tìm tập xác định.

– Tính \(f'(x)\). Tìm các điểm tại đó\(f'(x)=0\) hoặc \(f'(x)\) không xác định.

– Lập bảng biến thiên.

– Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực đại, cực tiểu.

b) Quy tắc 2

– Tìm tập xác định.

– Tính \(f'(x)\). Tìm các nghiệm x_i của phương trình \(f'(x)=0\).

– Tính \(f”(x)\) và \(f”(x_i)\) suy ra tính chất cực trị của các điểm xi.

– Chú ý: nếu \(f”(x_i)=0\) thì ta phải dùng quy tắc 1 để xét cực trị tại xi.