Toán 11 Kết nối tri thức Bài 9: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

1.1. Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm

Cho mẫu số liệu ghép nhóm

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm kí hiệu là \(\overline{x}\).

\[\bar x = \frac{{{m_1}{x_1} + {m_2}{x_2} + … + {m_k}{x_k}}}{n}\]

trong đó \(n = {m_1} + {m_2} + … + {m_k}\) là cỡ mẫu và \({x_i} = \frac{{{a_i} + {a_{i + 1}}}}{2}\) (với i= 1, …, k) là giá trị đại diện của nhóm [a_i; a_i+1 ).

Chú ý: Đối với số liệu rời rạc, người ta thường cho các nhóm dưới dạng k₁ – k₂, (k1, k2 \(\in N\)). Ta cần hiệu chỉnh mẫu dữ liệu ghép nhóm để đưa về dạng Bảng 3.2 trước khi thực hiện tính toán bằng cách hiệu chỉnh nhóm k1 – k2 với k1, k2 \(\in N\) thành nhóm [k₁ – 0,5; k2 +0,5). Chẳng hạn, với dữ liệu ghép nhóm điểm thi môn Toán trong Bảng 3.3 sau khi hiệu chỉnh ta được Bảng 3.4.

1.2. Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Cho mẫu số liệu ghép nhóm như trong Bảng 3.2.

Để tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm, ta làm như sau

Bước 1. Xác định nhóm chứa trung vị. Giả sử đó là nhóm thứ p: [a_p, a_p+1).

Bước 2. Trung vị là

\[{M_e} = {a_p} + \frac{{\frac{n}{2} – \left( {{m_1} + … + {m_{p – 1}}} \right)}}{{{m_p}}}.\left( {{a_{p + 1}} – {a_p}} \right)\]

trong đó n là cỡ mẫu, m_p là tần số nhóm p. Với p= 1, ta quy ước m₁ + … +m_p-1 = 0.

1.3. Tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

– Để tính tứ phân vị thứ nhất Q₁ của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa Q1. Giả sử đó là nhóm thứ p: [ap, ap+1). Khi đó,

\[{Q_1} = {a_p} + \frac{{\frac{n}{4} – \left( {{m_1} + … + {m_{p – 1}}} \right)}}{{{m_p}}}.\left( {{a_{p + 1}} – {a_p}} \right)\]

trong đó n là cỡ mẫu, mp là tần số nhóm p. Với p= 1, ta quy ước m1 + … +mp-1 = 0.

– Để tính tứ phân vị thứ ba Q₃ của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa Q₃. Giả sử đó là nhóm thứ p: [ap, ap+1). Khi đó,

\[{Q_3} = {a_p} + \frac{{\frac{{3n}}{4} – \left( {{m_1} + … + {m_{p – 1}}} \right)}}{{{m_p}}}.\left( {{a_{p + 1}} – {a_p}} \right)\]

trong đó n là cỡ mẫu, mp là tần số nhóm p. Với p= 1, ta quy ước m1 + … +mp-1 = 0.

– Tứ phân vị thứ hai Q₂ chính là trung vị M_e.

Nhận xét: Ta cũng có thể xác định nhóm chứa tứ phân vị thứ r (với r=1; 2; 3) nhờ tính chất: có khoảng \(({r.n\over 4})\) giá trị nhỏ hơn tứ phân vị này.

Ý nghĩa: Các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho các tứ phân vị của mẫu số liệu gốc, chúng chia mẫu số liệu thành 4 phần, mỗi phần chứa 25% giá trị.

1.4. Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm

Để tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Xác định nhóm có tần số lớn nhất (gọi là nhóm chứa mốt), giả sử là nhóm j: [a_j, aj+1).

Bước 2. Mốt được xác định là:

\[{M_o} = {a_j} + \frac{{{m_j} – {m_{j – 1}}}}{{\left( {{m_j} – {m_{j – 1}}} \right) + \left( {{m_j} – {m_{j + 1}}} \right)}}.h\]

trong đó m_j là tần số của nhóm j (quy ước m₀ = m_k+1 = 0) và h là độ dài của nhóm.

Lưu ý:

– Người ta chỉ định nghĩa mốt cho mẫu ghép nhóm có độ dài các nhóm bằng nhau.

– Một mẫu có thể không có mốt hoặc có nhiều hơn một mốt.

– Khi tần số của các nhóm số liệu bằng nhau thì mẫu số liệu ghép nhóm không có mốt.