1.1. Đạo hàm
|
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và điểm \(x_0\in\) (a; b). Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) – f\left( {{x_0}} \right)}}{{x – {x_0}}}\] thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0, kí hiệu bởi f'(x0) (hoặc y'(x0)). Vậy: \[f'(x_0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) – f\left( {{x_0}} \right)}}{{x – {x_0}}}.\] |
Chú ý 1: Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a; b). Nếu hàm số này có đạo hàm tại mọi điểm x \(\in\) (a, b) thì ta nói nó có đạo hàm trên khoảng (a; b), kí hiệu y’ hoặc f'(x).
Chú ý 2: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b), có đạo hàm tại \(x_0\in\) (a; b).
+) Đại lượng \(\Delta x = x – {x_0}\) gọi là số gia của biến tại \(x_0\). Đại lượng \(\Delta y = f({x}) – f({x_0})\) gọi là số gia tương ứng của hàm số. Khi đó, \( x={x_0} + \Delta x\) và
\(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{ x \to x_0} \frac{{f(x) – f({x_0})}}{{x – {x_0}}}= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) – f({x_0})}}{{x – {x_0}}} .\)
+) Tỉ số \(\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\) biểu thị tốc độ thay đổi trung bình của đại lượng y theo đại lượng x trong khoảng tử \(x_0\) đến \(x_0+ \Delta x\); còn f'(\(x_0\)) biểu thị tốc độ thay đổi (tức thời) của đại lượng y theo đại lượng \(x\) tại điểm \(x_0\).
Ý nghĩa vật lí của đạo hàm
• Nếu hàm số s = f(t) biểu thị quãng đường di chuyển của vật theo thời gian ở thị f'(\(t_0\)) biểu thị tốc độ tức thời của chuyển động tại thời điểm \(t_0\).
• Nếu hàm số T = f(t) biểu thị nhiệt độ T theo thời gian t thì f'(\(t_0\)) biểu thị tốc độ thay đổi nhiệt độ theo thời gian tại thời điểm \(t_0\).
1.2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và có đạo hàm tại \(x_0\in\) (a; b). Gọi (C) là đồ thị của hàm số đó.
Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm \(x_0\) là hệ số góc của tiếp tuyến M0T của (C) tại điểm M (\(x_0\); f(\(x_0\)))).
Tiếp tuyển M0T có phương trình là \(y = f'({x_0}).(x – {x_0}) + {y_0}\).
1.3. Số e
Người ta chứng minh được rằng có giới hạn hữu hạn
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^x} = e\]
Hơn nữa, người ta còn biết rằng e là số vô tỉ và e=2,718281828… (số thập phân vô hạn không tuần hoàn).
Số e xuất hiện trong nhiều bài toán ở những lĩnh vực khác nhau như Toán học, Vật lí, Sinh học, Kinh tế, ….