Hai mặt phẳng cắt nhau tạo nên bốn góc nhị diện. Nếu một trong các góc nhị diện đó là góc nhị diện vuông thì hai mặt phẳng đã cho gọi là vuông góc với nhau.

– Khi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, ta kí hiệu \((P)\bot (Q)\) hoặc \((Q)\bot (P)\).

 

 

Định lí 1

Nếu mặt phẳng này chứa một đường thẳng mà đường thẳng đó vuông góc với mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.

 

Chứng minh

– Giả sử có hai mặt phẳng (P) và (Q) thoả mãn \(a \subset (P)\) và \(a\bot (Q)\). Gọi O là giao điểm của a và (Q).

– Do hai mặt phẳng (P) và (Q) cùng chứa O nên hai mặt phẳng đó cắt nhau theo giao tuyến d đi qua O. Trong mặt phẳng (Q), qua O kẻ đường thẳng b vuông góc với d.

– Lấy hai điểm M, N lần lượt thuộc đường thẳng a, b. Ta thấy đường thẳng d vuông góc với hai tia OM, ON, suy ra góc MON là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \([M, d, N]\).

– Do \(a\bot (Q)\), \(ON \subset (Q)\) nên \(a\bot (ON)\), suy ra \(\widehat{MON}={{90}^{0}}\). Vì thế, góc nhị diện \([M, d, N]\) là góc nhị diện vuông hay \((P)\bot (Q)\).

 

Định lí 2

Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến cũng vuông góc với mặt phẳng kia.

 

Chứng minh

– Cho hai mặt phẳng (P), (Q) vuông góc với nhau và cắt nhau theo giao tuyến d. Cho đường thẳng \(a \subset (P)\) sao cho \(a\bot d\). Gọi O là giao điểm của a và d.

– Lấy hai điểm M, N lần lượt trên hai mặt phẳng (P), (Q) sao cho M, N không thuộc đường thẳng d. Gọi góc aOb là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \([M, d, N]\).

– Do góc nhị diện đó là góc nhị diện vuông nên \(\widehat{aOb}={{90}^{0}}\), tức là \(a\bot Ob\). Đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng (Q) là d và Ob nên \(a\bot (Q)\).

 

 

Định lí 3

Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.

 

Chứng minh

– Giả sử hai mặt phẳng (P), (Q) cắt nhau theo giao tuyến d; (P) và (Q) cùng vuông góc với mặt phẳng (R).

– Gọi a, b lần lượt là giao tuyến của mặt phẳng (R) với hai mặt phẳng (P), (Q). Xét điểm M thuộc đường thẳng d.

– Trong mặt phẳng (P), gọi \({d_1}\) là đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng a. Theo Định lí 2, ta có: \({d_1}\bot (R)\).

– Trong mặt phẳng (Q), gọi \({d_2}\) là đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng b. Theo Định lí 2, ta có:  \({d_2}\bot (R)\).

– Suy ra \({d_1}\) trùng \({d_2}\) nên hai đường thẳng đó cùng nằm trên cả hai mặt phẳng (P) và (Q). Cho nên \({d_1},{d_2}\) và d trùng nhau. Vậy  \(d\bot (R)\).