Định nghĩa

Cho n là một số nguyên dương. Với a là số thực tuỳ ý khác 0, ta có: \({a}^{-n}={1 \over {a}^{n}}\).

Như vậy, ta đã xác định được a^m, ở đó a là số thực tuỳ ý khác 0 và m là một số nguyên. Trong biểu thức am, ta gọi a là cơ số, số nguyên m là số mũ.

Chú ý:

– 0⁰ và \({0}^{-n}\) (n nguyên dương) không có nghĩa.

– Luỹ thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự của luỹ thừa với số mũ nguyên dương.

 

Định nghĩa

Cho số thực a và số nguyên dương n (n ≥ 2). Số b được gọi là căn bậc n của số a nếu \({b}^{n}=a\).

Nhận xét:

– Với n lẻ và \(a\in R\): Có duy nhất một căn bậc n của a, kí hiệu là \(\sqrt[n]{a}\).

– Với n chẵn, ta xét ba trường hợp sau:

 + a < 0: Không tồn tại căn bậc n của a;

 + a = 0: Có một căn bậc n của a là số 0;

 + a > 0: Có hai căn bậc n của a là hai số đối nhau, kí hiệu giá trị dương là \(\sqrt[n]{a}\), còn giá trị âm là – \(\sqrt[n]{a}\).

Định nghĩa

Cho số thực a dương và số hữu tỉ \(r = {m \over n}\), trong đó \(m\in Z,n\in N,n\ge 2\). Luỹ thừa của a với số mũ r xác định bởi: \({{a}^{r}}={{a}^{\frac{m}{n}}}=\sqrt[n]{{{a}^{m}}}\).

Nhận xét:

– \(\frac{1}{{{a}^{n}}}=\sqrt[n]{a}(a>0,n\in N,n\ge 2)\).

– Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ của số thực dương có đầy đủ các tính chất của luỹ thừa với số mũ nguyên.

 

Cho a là số thực dương, \( \alpha\) là số vô tỉ. Ta thừa nhận rằng luôn tồn tại dãy số hữu tỉ (r_n) có giới hạn là \( \alpha\) và dãy số (a^r_n) tương ứng có giới hạn không phụ thuộc vào việc chọn dãy số (rn).

Cho a là số thực dương, \( \alpha\) là số vô tỉ, (rn) là dãy số hữu tỉ và limrn = \( alpha\). Giới hạn của dãy số (arn) gọi là luỹ thừa của a với số mũ \( \alpha\), kí hiệu \({{a}^{\alpha }}\), \({{a}^{\alpha }}=\lim {{a}^{{{r}_{n}}}}\).

Nhận xét: Từ định nghĩa ta có: \({{1}^{\alpha }}=1,\forall \alpha \in R\).

 

– Cho a, b là những số thực dương; \( \alpha, \beta\) là những số thực tuỳ ý. Khi đó, ta có:   1) \({{a}^{\alpha }}.{{a}^{\beta }}={{a}^{\alpha +\beta }}\)   2) \(\frac{{{a}^{\alpha }}}{{{a}^{\beta }}}={{a}^{\alpha -\beta }}\)   3) \({{(ab)}^{\alpha }}={{a}^{\alpha }}.{{b}^{\alpha }}\)   4) \({{\left( {{a}^{\alpha }} \right)}^{\beta }}={{a}^{\alpha \beta }}\)   5) \({{\left( \frac{a}{b} \right)}^{\alpha }}=\frac{{{a}^{\alpha }}}{{{b}^{\alpha }}}\)  – Nếu a > 1 thì \({{a}^{\alpha }}>{{a}^{\beta }}\Leftrightarrow \alpha >\beta \).  – Nếu 0 < a < 1 thì \({{a}^{\alpha }}>{{a}^{\beta }}\Leftrightarrow \alpha <\beta \).

 

Ta có thể sử dụng máy tính cầm tay để tính luỹ thừa với số mũ thực. Cụ thể như sau (lấy kết quả với 4 chữ số ở phần thập phân):