Toán 11 Cánh Diều Chương 3 Bài 1: Giới hạn của dãy số

1.1. Giới hạn hữu hạn của dãy số

a. Định nghĩa

– Dãy số (un) có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực nếu |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 0$

– Dãy số (un) có giới hạn hữu hạn là a khi n dần tới dương vô cực nếu $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } ({u_n -a}) =0$

Kí hiệu: $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a$

Nhận xét: Nếu u_n càng ngày càng gần tới 0 khi n ngày càng lớn thì lim u_n = 0.

Chú ý:

– Ngoài kí hiệu $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 0$$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 0$, ta cũng sử dụng kí hiệu: lim u_n = 0 hay u_n → 0 khi n → +∞.

– Ngoài kí hiệu $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a$ ta cũng sử dụng kí hiệu: lim u_n = a hay u_n → a khi n → +∞.

b. Một số giới hạn cơ bản

Ta chứng tỏ được các giới hạn sau:

– $\lim \frac{1}{n} = 0$ ; $\lim \frac{1}{n^{k}} = 0$ với k là số nguyên dương cho trước;

– $\lim \frac{c}{n} = 0$ ; $\lim \frac{c}{n^{k}} = 0$ với c là hằng số, k là số nguyên dương cho trước;

– Nếu |q| < 1 thì lim qⁿ = 0;

– Dãy số (u_n) với ${{u}_{n}}={{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}}$ có giới hạn là một số vô tỉ và gọi giới hạn đó là e.

Ta có: $e=\lim {{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}}$ với $e\approx 2,718281828459045$.

1.2. Định lí về giới hạn hữu hạn

– Nếu lim u_n = a, lim v_n = b thì:

$\begin{align} & \begin{array}{*{35}{l}} \lim \left( {{u}_{n}}+{{v}_{n}} \right)=a+b; \\ \lim \left( {{u}_{n}}-{{v}_{n}} \right)=a-b; \\ \lim \left( {{u}_{n}}.{{v}_{n}} \right)=a.b; \\ \end{array} \\ & \lim \frac{{{u}_{n}}}{{{v}_{n}}}=\frac{a}{b}({{v}_{n}}\ne 0,b\ne 0). \\ \end{align}$

– Nếu u_n ≥ 0 với mọi n và lim u_n = a thì a ≥ 0 và $\lim \sqrt{{{u}_{n}}}=\sqrt{a}$

1.3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

– Cấp số nhân vô hạn u₁, u₁q, …., u₁q^{n – 1}, … có công bội q thỏa mãn |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

– Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đã cho là:

$S={{u}_{1}}+{{u}_{1}}q+{{u}_{1}}{{q}^{2}}+…=\frac{{{u}_{1}}}{1-q}$

1.4. Giới hạn vô cực

– Ta nói dãy số (u_n) có giới hạn + ∞ khi $n \to +\infty$, nếu u_n có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu:

$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = +\infty$ hay $limu_n = +\infty$ hay $u_n \to +\infty$ khi $n \to +\infty$.

– Ta nói dãy số (u_n) có giới hạn – ∞ khi $n \to +\infty$, nếu $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {-u_n} = +\infty$

Kí hiệu:

$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = -\infty$ hay $limu_n = -\infty$ hay $u_n \to -\infty$ khi $n \to -\infty$.

Nhận xét:

– lim n^k = + ∞ với k là số nguyên dương cho trước.

– lim qⁿ = + ∞ với q > 1 là số thực cho trước.

– Nếu lim u_n = a và lim |v_n| = + ∞ thì $\lim \frac{u_{n}}{v_{n}} = 0$ .

– Nếu lim u_n = a, a > 0 và lim v_n = 0, v_n > 0 với mọi n thì $\lim \frac{u_{n}}{v_{n}} = + \infty$ .

– lim u_n = +∞ ⇔ lim (– u_n) = – ∞.