– Định nghĩa

Hai phương trình (cùng ẩn) được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

Nếu phương trình \({f_1}(x) = {g_1}(x)\) tương đương với phương trình \({f_2}(x) = {g_2}(x)\) thì ta viết \({f_1}(x) = {g_1}(x) \Leftrightarrow {f_2}(x) = {g_2}(x)\).

– Định lí:

Nếu thực hiện các phép biến đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương. Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức; Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có gái trị khác 0.

– Nhận xét: 

Phương trình \(sin x = \frac{1}{2}\) có các nghiệm là: 

\(\begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{6} + k2\pi (k \in ℤ);\\
x = \frac{{5\pi }}{6} + k2 = \pi  – \frac{\pi }{6} + k2\pi (k \in ℤ)
\end{array}\)

Trong TH tổng quát, ta có thể giải phương trình \(sin x = m\) như sau:

Với \(\left| m \right| > 1\), phương trình \(\sin x = m\) vô nghiệm. Với \(\left| m \right| \le 1\), gọi α là số thực thuộc đoạn \(\left[ {\frac{{ – \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) sao cho \(\sin (\alpha ) = m\). Khi đó, ta có: \(\sin x = m \Leftrightarrow \sin x = \sin \alpha  \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \alpha  + k2\pi }\\ {x = \pi  – \alpha  + k2\pi } \end{array}(k \in Z)} \right.\)

– Chú ý: 

a) Ta có một số trường hợp đặc biệt sau của phương trình \(sin x = m\):

• \(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi (k \in Z)\);
• \(\sin x =  – 1 \Leftrightarrow x = \frac{{ – \pi }}{2} + k2\pi (k \in Z)\);
• \(\sin x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {x = k2\pi }\\
  {x = \pi  + k2\pi }
  \end{array}} \right. \Leftrightarrow x = k\pi (k \in Z).\)

b) Ta có \(f(x) = \sin g(x) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{f(x) = g(x) + k2\pi }\\
{f(x) = \pi  – g(x) + k2\pi }
\end{array}(k \in Z)} \right.\)

c) Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho \(\sin x = \sin ({\alpha ^o})\) như sau:

\(\sin x = \sin ({\alpha ^o}) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = {\alpha ^o} + k{{360}^o}}\\
{x = {{180}^o} – {\alpha ^o} + k{{360}^o}}
\end{array}(k \in Z)} \right.\)

– Nhận xét: 

Phương trình \(cosx = m\) có các nghiệm là:

\(x = \frac{\pi }{3} + k2\pi (k \in Z)\) và \(x = \frac{\pi }{3} + k2\pi (k \in Z)\).

Trong trường hợp tổng quát, ta có thể giải phương trình \(cosx = m\) như sau:

Với \(\left| m \right| > 1\), phương trình \(cosx = m\) vô nghiệm. Với \(\left| m \right| \le 1\), gọi \(\alpha \) là số thực thuộc đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\) sao cho. Khi đó, ta có: \(cos x = m \Leftrightarrow \cos x = \cos \alpha  \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \alpha  + k2\pi }\\ {x =  – \alpha  + k2\pi } \end{array}(k \in Z)} \right.\)

– Chú ý: 

a) Ta có một số trường hợp đặc biệt sau của phương trình \(cosx = m\):

• \(cosx = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi (k \in Z)\);
• \(cosx = 1 \Leftrightarrow x = \pi  + k2\pi (k \in Z)\);
• \(cosx = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi (k \in Z)\).

b) Ta có \(cos f(x) = \cos g(x) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{f(x) = g(x) + k2\pi }\\
{f(x) =  – g(x) + k2\pi }
\end{array}(k \in Z)} \right.\)

c) Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho \(cosx = \cos ({\alpha ^o})\)  như sau: 

\(cosx = \cos ({\alpha ^o}) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = {\alpha ^o} + k{{360}^o}}\\
{x =  – {\alpha ^o} + k{{360}^o}}
\end{array}(k \in Z)} \right.\)

Trong TH tổng quát, ta có thể giải phương trình \(tan x = m\) như sau:

Gọi \(\alpha \) là số thực thuộc khoảng \(\left( {\frac{{ – \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) sao cho \(tan x = m\). Khi đó \(\forall m \in R\), ta có: \(tan x = m \Leftrightarrow \tan x = \tan \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi (k \in Z)\)

– Chú ý: Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho \(tan x = \tan {a^o}\) như sau:

\(tan x = \tan {a^o} \Leftrightarrow x = {a^o} + k{180^o}(k \in Z)\)

Trong trường hợp tổng quát, ta có thể giải phương trình \(\cot x = m\) như sau:

Gọi \(\alpha \) là số thực thuộc khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) sao cho \(\cot \alpha  = m\). Khi đó với mọi \(\forall m \in R\), ta có: \(cot x = m \Leftrightarrow \tan x = \cot \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi (k \in Z)\)

Có thể sử dụng MTCT để giải phương trình lượng giác cơ bản (sinx = m, cosx = m, tanx = m, cotx = m)

SHIFT + sin, cos, tan + m = kết quả

– Chú ý: Để giải phương trình cotx = m bằng MTCT, ta đưa về giải phương trình