a) Khái niệm hàm số

Nếu với mỗi giá tị của x thuộc tập hợp số D có một và chỉ một giá trị tương ứng của y thuộc tập số thực R thì ta có một hàm số.

Ta gọi x là biến số và y là hàm số của x.

Tập hợp D gọi là tập xác định của hàm số.

Tập tắt cả các giá trị y nhận được, gọi là tập giá trị của hàm số.

b) Đồ thị của hàm số

Đồ thị hàm số y = f(x) xác định trên tập D là tập hợp tất cả các điểm M(x; f(x)) trên mặt phẳng toạ độ với mọi x thuộc D. 

c) Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Hàm số y = f(x) được gọi là đồng biến (tăng) trên khoảng (a; b), nếu

\(\forall {x_1},{x_2} \in \left( {a,b} \right),{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\). 

Hàm số y = f(x) được gọi là nghịch biến (giảm) trên khoảng (a; b), nếu

\(\forall {x_1},{x_2} \in \left( {a,b} \right),{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\).

a) Khái niệm hàm số bậc hai

Hàm số bậc hai là hàm số cho bởi công thức: \(y = a{x^2} + bx + c\)

trong đó x là biến số, a, b, c là các hằng số và \(a \ne 0\).

Tập xác định của hàm số bậc hai là R.

b) Đồ thị của hàm số bậc hai

+ Đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c  \(\left( {a \ne 0} \right)\) là một đường parabol có đỉnh là điểm \(I\left( { – \frac{b}{{2{\rm{a}}}}; – \frac{\Delta }{{4{\rm{a}}}}} \right)\) có trục đối xứng là đường thẳng \({x =  – \frac{b}{{2{\rm{a}}}}}\). Parabol này quay bề lõm lên trên nếu a > 0, xuống dưới nếu a < 0.

+ Để vẽ đường parabol y = ax2 + bx + c ta tiến hành theo các bước sau:

• Bước 1. Xác định toạ độ đính \(I\left( { – \frac{b}{{2{\rm{a}}}}; – \frac{\Delta }{{4{\rm{a}}}}} \right)\);
• Bước 2. Vẽ trục đối xứng \({x =  – \frac{b}{{2{\rm{a}}}}}\);
• Bước 3. Xác định toạ độ các giao điểm của parabol với trục tung, trục hoành (nếu có) và một vài điểm đặc biệt trên parabol;
• Bước 4. Vẽ parabol.

a) Dấu của tam thức bậc hai

– Tam thức bậc hai (đối với x) là biểu thức có dạng ax² + bx + c, trong đó a, b, c là những số thực cho trước (với \(a \ne 0\)), được gọi là các hệ số của tam thức bậc hai.

– Cho tam thức bậc hai f(x) = ax²+ bx + c (\(a \ne 0\)).

+ Nếu \(\Delta  < 0\) thì f(x) cùng dẫu với hệ số a với mọi \(x \in R\).

+ Nếu \(\Delta  = 0\) thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi \(x \ne  – \frac{b}{{2{\rm{a}}}}\) và \(f\left( { – \frac{b}{{2{\rm{a}}}}} \right) = 0\).

+ Nếu \(\Delta  > 0\) thi tam thức f(x) có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 \(\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\). Khi đó f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi \(x \in \left( { – \infty ;{x_1}} \right) \cup \left( {{x_2}; + \infty } \right)\); f(x) trái dấu với hệ số a với mọi \(x \in \left( {{x_1};{x_2}} \right)\). 

b) Bất phương trình bậc hai

+ Bất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình có dạng ax²+ bx + c > 0 (hoặc ax²+ bx + c > 0, ax²+ bx + c < 0, \(a{x^2} + bx + c \le 0\)), trong đó a, b, c là những số thực đã cho và \(a \ne 0\).

+ Số thực x0 gọi là một nghiệm của bất phương trình bậc hai ax²+ bx + c > 0, nếu ax²+ bx + c > 0. Tập hợp gồm tất cả các nghiệm của bất phương trình bậc hai ax²+ bx + c > 0 gọi là tập nghiệm của bắt phương trình này.

+ Giải bất phương trình bậc hai f(x)= ax²+ bx + c > 0 là tìm tập nghiệm của nó, tức là tìm các khoảng mà trong đó f(x) cùng dấu với hệ số a (nếu a > 0) hay trái dầu với hệ số a (nếu a < 0).

a) Phương trình dạng \(\sqrt{ax^{2}+bx+c}=\sqrt{dx^{2}+ex+f}\)

Đề giải phương trình \(\sqrt {a{x^2} + bx + c}  = \sqrt {d{x^2} + ex + f} \), ta thực hiện như sau:

– Bình phương hai về và giải phương trình nhận được;

– Thử lại các giá trị x tìm được ở trên có thoả mãn phương trình đã cho hay không và kết luận nghiệm.

b) Phương trình dạng \(\sqrt{ax^{2}+bx+c}= dx+e\)

Để giải phương trình \(\sqrt{ax^{2}+bx+c}= dx+e\), ta thực hiện như sau:

– Bình phương hai vế và giải phương trình nhận được;

– Thử lại các giá trị x tìm được ở trên có thoả mãn phương trình đã cho hay không và kết luận nghiệm.