a) Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là: \(ax + by \le c\left( {ax + by \ge c,ax + by < c,ax + by > c} \right)\) 

(trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn số.)

Cặp số (x₀; y₀) được gọi là một nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(ax + by \le c\) nếu bất đẳng thức \(a{x_0} + b{y_0} \le c\) đúng.

Nhận xét: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm.

b) Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ

– Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tập hợp các điểm có toạ độ là nghiệm của bất phương trình \(ax + by \le c\) được gọi là miền nghiệm của bất phương trình đó.

– Người ta chứng minh được rằng đường thẳng d có phương trình ax + by = z chia mặt phẳng toạ độ Oxy thành hai nửa mặt phẳng bờ d:

+ Một nửa mặt phẳng (không kể bờ d) gồm các điểm có toạ độ (x; y) thoả mãn ax + by > c;

+ Nửa mặt phẳng còn lại (không kể bờ d) gồm các điểm có toạ độ (x; y) thoả mãn ax + by < c.

(Bờ d gồm các điểm có toạ độ (x; y) thoả mãn ax + by = c.)

– Cách biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(ax + by \le c\) 

+ Vẽ đường thẳng d: ax + by = c trên mặt phẳng toạ độ Oxy.

+ Lấy một điểm M0(x0; y0) không thuộc d. 

+ Tính \(a{x_0} + b{y_0}\) và so sánh với c.

+ Nếu \(a{x_0} + b{y_0} < c\) thì nửa mặt phẳng bờ d chứa M0 là miền nghiệm của bất phương trình. Nếu \(a{x_0} + b{y_0} > c\) thì nửa mặt phẳng bờ d không chứa M0 là miền nghiệm của bất phương trình.

a) Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

– Hệ bất phương trình bậc nhát hai ần là một hệ gồm hai hay nhiều bắt phương trình bậc nhất hai ẩn.

– Cặp số (x₀; y₀) là nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn khi (x₀; y₀) đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình trong hệ đó.

b) Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ

–  Trong mặt phẳng toạ độ, tập hợp các điểm có toạ độ là nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẳn là miền nghiệm của hệ bất phương trình đó.

–  Miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

– Cách xác định miền nghiệm của một hệ bắt phương trình bậc nhất hai ẩn:

• Trên cùng một mặt phẳng toạ độ, xác định miền nghiệm của mỗi bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong hệ và gạch bỏ miền còn lại.
• Miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

c) Ứng dụng của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Tổng quát, người ta chứng minh được rằng giá trị lớn nhất (hay nhỏ nhất) của biểu thức F{x, y) = ax + by, với (x, y) là toạ độ các điểm thuộc miễn đa giác A1A2…An, tức là các điểm nằm bên trong hay nằm trên các cạnh của đa giác, đạt được tại một trong các đỉnh của đa giác đó.