Trên mặt phẳng, xét hai trục Ox, Oy có chung gốc O và vuông góc với nhau. Vectơ đơn vị của trục Ox là \(\overrightarrow i \), vectơ đơn vị của trục Oy là \(\overrightarrow j \). Hệ gồm hai trục Ox, Oy như vậy được gọi là hệ trục toạ độ Oxy. Điểm O gọi là gốc toa độ, trục Ox gọi là trục hoành, trục Oy gọi là trục tung. Mặt phẳng chứa hệ trục toạ độ Oxy gọi là mặt phẳng toạ độ Oxy hay mặt phẳng Oxy (Hình sau).

Với mỗi vectơ ứ trên mặt phẳng Oxy, có duy nhất cặp số \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) sao cho \(\overrightarrow u  = {x_0}\overrightarrow i  + {y_0}\overrightarrow j \). Ta nói vectơ \(\overrightarrow u \) có toạ độ \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và viết \(\overrightarrow u  = \left( {{x_0};{y_0}} \right)\) hay \(\overrightarrow u \left( {{x_0};{y_0}} \right)\). Các số \({{x_0},{y_0}}\) tương ứng được gọi là hoành độ, tung độ của \(\overrightarrow u \).

Nhận xét: Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng toạ độ.

\(\vec u\left( {x,y} \right) = \vec v\left( {x’,y’} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = x’}\\ {y = y’} \end{array}} \right.\)

Ví dụ: Tìm toạ độ của các vectơ đơn vị \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j \) tương ứng của các trục Ox, Oy.

Giải

Vì \(\overrightarrow i  = 1\overrightarrow i  + 0\overrightarrow j \) nên \(\overrightarrow i\) có toạ độ là (1; 0)
Vì \(\overrightarrow j  = 0\overrightarrow i  + 1\overrightarrow j \) nên \(\overrightarrow j\) có toa độ là (0; 1).

Cho hai vectơ \(\overrightarrow u  = \left( {x;y} \right)\) và \(\overrightarrow v  = \left( {x;y} \right)\). Khi đó: \(\begin{array}{*{20}{l}} {*\vec u + \vec v = \left( {x + x’;y + y’} \right);}\\ {*\vec u – \vec v = \left( {x – x’;y – y’} \right);}\\ {*k\vec u = \left( {kx;ky} \right),k \in R} \end{array}\)

Nhận xét: Vectơ \(\overrightarrow v \left( {x’;y’} \right)\) cùng phương với vectơ \(\overrightarrow u \left( {x;y} \right) \ne \overrightarrow 0 \) khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho x’ = kx, y’ = ky (hay \(\frac{{x’}}{x} = \frac{{y’}}{y}\) nếu \(x,y \ne 0\)

– Nếu điểm M có toạ độ (x; y) thì vecto \(\overrightarrow {OM} \) có toạ độ (x; y) và độ dài \(\left| {\overrightarrow {OM} } \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \)

Nhận xét: Với vectơ \(\overrightarrow u \left( {x;y} \right)\) ta lấy điểm M(x; y) thì \(\overrightarrow u  = \overrightarrow {OM} \). Do đó, \(\left| {\overrightarrow u } \right| = \left| {\overrightarrow {OM} } \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \)

Chẳng hạn, vectơ \(\overrightarrow u  = \left( {2; – 1} \right)\) có độ dài là \(\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{2^2} + {{( – 1)}^2}}  = \sqrt 5 \) 

– Với hai điểm M(x; y) và N(x’; y’) thì \(\overrightarrow {MN}  = \left( {x’ – x;y’ – y} \right)\) và khoảng cách giữa hai điểm M, N là \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \sqrt {{{\left( {x’ – x} \right)}^2} + {{\left( {y’ – y} \right)}^2}} \)

Ví dụ: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ba điểm A(1;~2), B(3; 2), C(7: 4). 

a) Tìm toạ độ của các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} \). So sánh các khoảng cách từ B tới A và C.

b) Ba điểm A, B, C có thẳng hàng hay không?

c) Tìm điểm D(x; y) đề ABCD là một hinh thoi.

Giải

a) Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {3 – 1;2 – ( – 2)} \right) = \left( {2;4} \right),\overrightarrow {BC}  = \left( {7 – 3;4 – 2} \right) = \left( {4;2} \right)\)

Các khoảng cách từ B tới A và C lần lượt là:

\(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{2^2} + {4^2}}  = 2\sqrt 5 ;BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{4^2} + {2^2}}  = 2\sqrt 5 \)

Do đó các khoảng cách này bằng nhau.

b) Hai vectơ \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;{\rm{ }}4} \right),\overrightarrow {BC}  = \left( {4;{\rm{ }}2} \right)\) không cùng phương (vì \(\frac{2}{4} \ne \frac{4}{2}\)). Do đó các điềm A, B, C không cùng nằm trên một đường thẳng. Vậy chúng không thẳng hàng. 

c) Các điểm A, B, C không thằng hàng và BA = BC nên ABCD là một hình thoi khi và chỉ khi \(\overrightarrow {A{\rm{D}}}  = \overrightarrow {BC} \). 

Do \(\overrightarrow {A{\rm{D}}}  = \left( {x – 1;y + 2} \right),\overrightarrow {BC}  = \left( {4;2} \right)\) nên \(\overrightarrow {A{\rm{D}}}  = \overrightarrow {BC}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x – 1 = 4\\
y + 2 = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 5\\
y = 0
\end{array} \right.\)

Vậy điểm cần tìm là D(5; 0). 

Chú ý: 

+ Trung điểm M của đoạn thẳng AB có toạ độ là \(\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}} \right)\)

+ Trọng tâm G của tam giác ABC có toạ độ là \(\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}} \right)\)