a) Tam thức bậc hai

Đa thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) với a, b, c là hệ số, \(a \ne 0\) và x là biến số được gọi là tam thức bậc hai.

* Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) \(a \ne 0\). Khi thay x bằng giá trị x0 vào ƒ(x), ta được \(f\left( {{x_0}} \right) = a{x_0}^2 + b{x_0} + c\), gọi là giá trị của tam thức bậc lai tại x0.

+ Nếu \(f\left( {{x_0}} \right) > 0\) thì ta nói f(x) đương tại x0;

+ Nếu \(f\left( {{x_0}} \right) < 0\) thì ta nói f(x) âm tại x0;

+ Nếu f(x) đương (âm) tại mọi điểm x thuộc một khoảng hoặc một đoạn thì ta nói f{x) dương (âm) trên khoảng hoặc đoạn đó.

* Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) \(a \ne 0\). Khi đó

+ Nghiệm của phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c\) là nghiệm của f(x).

+ Biểu thức \(\Delta  = {b^2} – 4{\rm{a}}c\) và \(\Delta ‘ = {\left( {\frac{b}{2}} \right)^2} – ac\) lần lượt là biệt thức và biệt thức thu gọn của f(x).

b) Định lí về dấu của tam thức bậc hai

Cho tam thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\). + Nếu \(\Delta \) < 0 thi ƒ(x) cùng đấu với a với mọi giá trị x + Nếu \(\Delta \) = 0 và \({x_0} =  – \frac{b}{{2{\rm{a}}}}\) là nghiệm kép của ƒ(x) thì ƒ(x) cùng dấu với a với mọi x kháe x0. + Nến \(\Delta \) > 0 và x1, x2 là hai nghiệm của \(f(x)\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) thì ƒ(x) trái dấu với a với mọi x trong. khoảng (x1; x2); f(x) cùng đâu với a với mọi x thuộc hai khoảng \(\left( { – \infty ;{x_1}} \right),\left( {{x_2}; + \infty } \right)\).

Chú ý

a) Để xét dâu tam thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\), ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tỉnh và xác định đâu của biệt thức \(\Delta \);

Bước 2: Xác định nghiệm của ƒ(x) (nếu có);

Bước 3: Xác định đâu của hệ sô a,

Bước 4: Xác định dâu của ƒ(x)

b) Khi xét dấu của tam thức bậc hai, ta có thể đùng biệt thúc thu gọn \(\Delta ‘\) thay cho biệt thức \(\Delta\).

– Bất phương trình bậc lai một ẩn x là bất phương trình có một trong các dạng \(a{x^2} + b{\rm{x}} + c \le 0,a{x^2} + b{\rm{x}} + c < 0,a{x^2} + b{\rm{x}} + c \ge 0,a{x^2} + b{\rm{x}} + c > 0\) với \(a \ne 0\).

– Nghiệm của bất phương trình bậc hai là các giá trị của biến x mà khi thay vào bất phương trình ta được bắt đẳng thúc đúng.

– Giải bất phương trình bậc hai là tìm tập hợp các nghiệm của bât phương trình đó.

– Ta có thể giải bắt phương trình bậc hai bằng cách xét dâu của tam thức bậc hai tương ứng.

b) Phương trình dạng \(\sqrt{ax^{2}+bx+c}= dx+e\)

Để giải phương trình \(\sqrt{ax^{2}+bx+c}= dx+e\), ta làm như sau:

Bước 1: Bình phương hai về của phương trình đề được phương trình \(a{x^2} + bx + c = {\left( {dx + e} \right)^2}\)

Bước 2: Giải phương trình nhận được ở Bước 1

Bước 3: Thử lại xem các giả trị x tìm được ở Bước 2 có thoả mãn phương trình đã cho hay không và kết luận nghiệm.