Giải tam giác là tìm sô đo các cạnh và các góc còn lại của tam giác khi ta biết được các yếu tố đủ đề xác định tam giác đó.

Để giải tam giác, ta thường sử dụng một cách hợp lí cáe hệ thức hượng như: định lí sin, định lí côsin và các công thức tính điện tích tam giác.

Ví dụ: Giải tam giác ABC trong các trường hợp sau:

a) AB =85, AC =95 và \(\widehat A = {40^0}\),

b) AB = 15, AC=25 và BC=30.

Giải

Đặt a = BC, b =AC, c = AB

a) Ta cần tính cạnh a và hai góc \(\widehat B,\widehat C\) 

Áp dụng định lí côsin, ta có

aề=B3+ c°— 2becos.4=953 + 853— 2.95.85, cos40° 3878,38

Suy ra a= J3878,38 z 62,3

Áp dung hệ quả định lí côsin, ta có:

\({a^2} = {b^2} + {c^2} – 2.b.c.\cos A = {95^2} + {85^2} – 2.95.85.cos{40^0} \approx 3878,38\) 

Suy ra \(a \approx \sqrt {3878,38}  \approx 62,3\) 

Áp dụng hệ quả định lí côsin, ta có:

\(\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} – {b^2}}}{{2ac}} \approx \frac{{62,{3^2} + {{85}^2} – {{95}^2}}}{{2.62,3.85}} \approx 0,197\) 

Suy ra: \(\widehat B \approx {78^0}38′,\widehat C \approx {180^0} – {40^0} – {78^0}38′ = {61^0}22’\) 

Vận dụng giải tam giác giúp ta giải quyết rât nhiêu bài toán trong thực tê, đặc biệt là trong thiết kế và xây dựng.

Ví dụ 1: Một đường hầm được dự kiến xây dựng xuyên qua một ngọn núi. Để ước tính chiều đài của đường hàm, một kĩ sư đã thực hiện các phép đo và cho ra kết quả như Hình sau. Tính chiều đài của đường hầm tử các số liệu đã khảo sát được.

Giải

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC, ta có:

\(A{B^2} = C{A^2} + C{B^2} – 2CA.CB.\cos C = 388{}^2 + {212^2} – 2.388.212.cos82,{4^0} \approx 173730\).

Suy ra: \(AB \approx \sqrt {173730}  = 417\left( m \right)\) 

Vậy đường hầm dài khoảng 417 m.

Ví dụ 2: 

Để xác định chiêu cao của một toà nhà cao tầng, một người đứng tại điểm AM, sử dụng giác kế nhìn thây đỉnh toà nhà với góc nâng \(\widehat {RQA} = {84^0}\), người đó lùi ra xa một khoảng cách LM = 49,4m thì nhìn thây đỉnh toà nhà với góc nâng \(\widehat {RPA} = {78^0}\). Tính chiều cao của toà nhà, biết rằng khoảng cách từ mặt đất đến ống ngắm của giác kê đó là PL = QM = 1,2m

Giải

Ta có: \(\widehat {PAQ} = \widehat {AQR} – \widehat {APR} = {84^0} – {78^0} = {6^0}\).

Áp dụng định lí sin trong tam giác APQ, ta có:

\(\frac{{AQ}}{{\sin P}} = \frac{{PQ}}{{\sin A}} \Rightarrow \frac{{AQ}}{{\sin {{78}^0}}} = \frac{{PQ}}{{\sin {6^0}}} \Rightarrow AQ = \frac{{PQ.\sin {{78}^0}}}{{\sin {6^0}}}\) 

Trong tam giác vuông AQR, ta có:

\(AR = AQ.\sin {84^0} = \frac{{PQ.\sin {{78}^0}.\sin {{84}^0}}}{{\sin {6^0}}} = \frac{{49,4.\sin {{78}^0}.\sin {{84}^0}}}{{\sin {6^0}}} \approx 460\left( m \right)\) 

Vậy chiều cao của tòa nhà là \(AO = AR + RO \approx 460 + 1,2 = 461,2\left( m \right).\)