+) Với mỗi góc \(\alpha ({0^o} \le \alpha  \le {180^o})\) có duy nhất điểm \(M({x_0};{y_0})\) trên nửa đường tròn đơn vị để \(\widehat {xOM} = \alpha .\) Khi đó: \(\sin \alpha  = {y_0}\) là tung độ của M \(\cos \alpha  = {x_0}\) là hoành độ của M \(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{{y_0}}}{{{x_0}}}(\alpha  \ne {90^o})\) \(\cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{{x_0}}}{{{y_0}}}(\alpha  \ne {0^o},\alpha  \ne {180^o})\)

Ví dụ: Tìm các giá trị lượng giác của góc 120°.

Giải

Lấy điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho.

\(\widehat {xOM} = {120^0}\). Ta có \(\widehat {MOy} = {120^0} – {90^0} = {30^0}\). 

Ta tính được toạ độ điểm M là \(\left( { – \frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\) 

Vậy theo định nghĩa ta có:

\(\begin{array}{l}
\sin {120^0} = \frac{{\sqrt 3 }}{2};cos{120^0} =  – \frac{1}{2};\\
\tan {120^0} =  – \sqrt 3 ;\cot {120^0} =  – \frac{{\sqrt 3 }}{3}.
\end{array}\)

Chú ý:

a) Nếu \(\alpha\) là góc nhọn thì các giá trị lượng giác của \(\alpha\) đều dương

Nếu ơ là góc tù thì sin\(\alpha\) > 0, cos\(\alpha\) < 0, tan\(\alpha\) < 0, cot\(\alpha\) < 0.

b) tan\(\alpha\) chỉ xác định khi \(\alpha  \ne {90^0}\).

cot\(\alpha\) chỉ xác định khi \(\alpha  \ne {0^0}\) và \(\alpha  \ne {180^0}\).

Hai góc bù nhau, \(\alpha \) và \({180^o} – \alpha \):

\(\begin{array}{l}\sin \left( {{{180}^o} – \alpha } \right) = \sin \alpha \\\cos \left( {{{180}^o} – \alpha } \right) =  – \cos \alpha \\\tan \left( {{{180}^o} – \alpha } \right) =  – \tan \alpha (\alpha  \ne {90^o})\\\cot \left( {{{180}^o} – \alpha } \right) =  – \cot \alpha ({0^o} < \alpha  < {180^o})\end{array}\)

Hai góc phụ nhau, \(\alpha \) và \({90^o} – \alpha \):

\(\begin{array}{l}\sin \left( {{{90}^o} – \alpha } \right) = \cos \alpha \\\cos \left( {{{90}^o} – \alpha } \right) = \sin \alpha \\\tan \left( {{{90}^o} – \alpha } \right) = \cot \alpha (\alpha  \ne {90^o},{0^o} < \alpha  < {180^o})\\\cot \left( {{{90}^o} – \alpha } \right) = \tan \alpha (\alpha  \ne {90^o},{0^o} < \alpha  < {180^o})\end{array}\)

Ví dụ: Cho biết \(\sin {30^0} = \frac{1}{2};cos{45^0} = \frac{{\sqrt 2 }}{2};\tan {60^0} = \sqrt 3 \). Tính \(\sin {150^0};cos{135^0};\tan {120^0}.\)

Giải

\(\begin{array}{l}
\sin {150^0} = \sin \left( {{{180}^0} – {{30}^0}} \right) = \sin {30^0} = \frac{1}{2};\\
cos{135^0} =  – cos{45^0} =  – \frac{{\sqrt 2 }}{2};\\
\tan {120^0} =  – \tan {60^0} =  – \sqrt 3 .
\end{array}\)

Chú ý: Trong bảng, kí hiệu “||” để chỉ giá trị lượng giác không xác định.

a) Tính các giá trị lượng giác của góc

Bước 1: Cài đặt đơn vị đo góc (độ hoặc radian)

Bước 2: Vào chế độ tính toán

Chú ý: Để tính \(\cot \alpha \) ta tính \(\frac{1}{{\tan \alpha }}\).

b) Xác định số đo của góc khi biết giá trị lượng giác của góc đó

Để tìm \(\alpha \) khi biết \(\cot \alpha \) ta tính \(\tan \alpha  = \frac{1}{{\cot \alpha }}\) rồi tính \(\alpha \) sau.