a) Quy tắc cộng

Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động thứ nhất có m cách thực hiện, hành động thứ hai có n cách thực hiện (các cách thực hiện của cả hai hành động là khác nhau đôi một) thì công việc đó có m + n cách hoàn thành.

Nhận xét: Tương tự. ta cũng có quy tắc sau:

Một công việc được hoàn thành bởi một trong ba hành động. Nếu hành động thứ nhất có m cách thực hiện, hành động thứ hai có n cách thực hiện hành động thứ ba có p cách thực hiện (các cách thực hiện của ba hành động là khác nhau đôi một) thì công việc đó có m + n + p cách hoàn thành.

b) Quy tắc nhân

Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu hành động thứ nhất có m cách thực hiện và ứng với mỗi cách thực hiện hành động thứ nhất, có n cách thực hiện hành động thứ hai thì công việc đó có m.n cách hoàn thành.

Nhận xét: Tương tự, ta cũng có quy tắc sau:

Một công việc được hoàn thành bởi ba hành động liên tiếp: Nếu hành động thứ nhất có m cách thực hiện; ứng với mỗi cách thực hiện hành động thứ nhất, có n cách thực hiện hành động thứ hai; ứng với mỗi cách thực hiện hành động thứ nhất và mỗi cách thực hiện hành động thứ hai có p cách thực hiện hành động thứ ba thì công việc đó có m.n.p cách hoàn thành.

c) Sơ đồ hình cây

Nhận vét

* Sơ đồ hình cây (Hình cho sau) là sơ đồ bắt đầu tại một nút duy nhất với các nhánh toả ra các nút bổ sung.

* Ta có thể sử dụng sơ đồ hình cây để đếm số cách hoàn thành một công việc khi công việc đó đòi hỏi những hành động liên tiếp.

a) Hoán vị

*Định nghĩa

Cho tập hợp A gồm n phần tử (\(n \in N*\)). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.

Ví dụ: Hãy liệt kê tất cả các số gồm ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ

Giải

Các số gồm ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 1, 2, 3 là: 123, 132, 213, 231, 212, 621.

*Số các hoán vị

Kí hiệu Pn là số các hoán vị của n phần tử. Ta có: Pn = n(n – 1)… 2. 1.

Quy ước: Tích 1. 2… n được viết là n! (đọc là n giai thừa), tức là n! = 1.2… n.

Như vậy Pn = n!

b) Chỉnh hợp

*Định nghĩa

Cho tập hợp A gồm n phần tử và một số nguyên k với \(1 \le k \le n\). Kết quả của việc lấy k phân tử từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phân tử đã cho.

*Số các chỉnh hợp

Kí hiệu \(A_n^k\) là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử \(1 \le k \le n\).

Ta có: \(A_n^k = n\left( {n – 1} \right)…\left( {n – k + 1} \right)\).

a) Định nghĩa

Cho tập hợp A gồm n phần tử và một số nguyên k với \(1 \le k \le n\).

Mỗi tập con gồm k phần tử được lấy ra từ n phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đó.

b) Các số tổ hợp, tính chất

Nhận xét: Số chỉnh hợp chập k của n phần tử nhiều gấp k! lần số tổ hợp chập k của n phần tử đó.

+ Kí hiệu \(C_n^k\) là số tổ hợp chập k của n phẩn tử với \(1 \le k \le n\). Ta có: \(C_n^k = \frac{{A_n^k}}{{k!}}\). 

+ \(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n – k} \right)!}}\) với \(0 \le k \le n\)

+ Tính chất: Ta có hai đẳng thức sau: \(C_n^k = C_n^{n – k}\left( {0 \le k \le n} \right)\) và \(C_{n – 1}^{k – 1} + C_{n – 1}^k = C_n^k\left( {1 \le k \le n} \right)\).

Quy ước: \(0! = 1;C_n^0 = 1\). 

Ta có hai công thức khai triển sau:

\(\begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{l}} {{{\left( {a + b} \right)}^4} = {C_4}^0{a^4} + {C_4}^1{a^3}b + {C_4}^2{a^2}{b^2} + {C_4}^3a{b^3} + {C_4}^4{b^4}}\\ {\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}.} \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{l}} {{{\left( {a + b} \right)}^5} = {C_4}^0{a^5} + {C_5}^1{a^4}b + {C_5}^2{a^3}{b^2} + {C_5}^3{a^2}{b^3} + {C_5}^4a{b^4} + {C_5}^5{b^5}}\\ {\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}.} \end{array} \end{array}\)

Những công thức khai triển nói trên là công thức nhị thức Newton \({\left( {a + b} \right)^n}\) ứng với n=4; n=5.

Bằng cách như thế, ta có thể khai triển được \({\left( {a + b} \right)^n}\) với n là số nguyên dương lớn hơn 5.