a) Hàm số

Cho \(\emptyset  \ne D \subset \mathbb{R}\) Nếu với mỗi \(x \in D\), ta xác định được y duy nhất (\(y \in \mathbb{R}\)) thì ta có một hàm số. Ta gọi: x là biến số, y là hàm số của x, D là tập xác định \(T = \left\{ {y|x \in D} \right\}\) là tập giá trị của hàm số. +) Kí hiệu hàm số: \(y = f(x),\;x \in D\)

– Hàm số cho bằng công thức

TXĐ của hàm số \(y = f(x)\) là tập hợp tất cả các \(x \in \mathbb{R}\) sao cho \(f(x)\) có nghĩa.

b) Đồ thị hàm số

+) Hàm số \(y = f(x)\) xác định trên D, Khi đó đồ thị \((C) = \left\{ {M(x;f(x))|x \in D} \right\}\) +) Điểm \(M({x_M};{y_M})\) thuộc đồ thị hàm số \(y = f(x)\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} \in D\\{y_M} = f({x_M})\end{array} \right.\)

c) Sự biến thiên của hàm số

+) Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((a;b)\) – Hàm số đồng biến trên khoảng \((a;b)\) nếu: \(\forall {x_1},{x_2} \in (a;b),{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2})\) – Hàm số nghịch biến trên khoảng \((a;b)\) nếu: \(\forall {x_1},{x_2} \in (a;b),{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) > f({x_2})\)

+) Bảng biến thiên

Mũi tên đi xuống: diễn tả hàm số nghịch biến

Mũi tên đi lên: diễn tả hàm số đồng biến

* Mô tả hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến bằng đồ thị

+) Trên khoảng \((a;b)\)

– Hàm số đồng biến (tăng) thì đồ thị có dạng đi lên từ trái sang phải. 

– Hàm số nghịch biến (giảm) thì đồ thị có dạng đi xuồng từ trái sang phải.

a) Hàm số bậc hai

Hàm số bậc hai là hàm số cho bằng công thức dạng \(y = a{x^2} + bx + c\) với \(a,b,c \in \mathbb{R};a \ne 0.\) Tập xác định: \(\mathbb{R}\).

Ví dụ: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc hai? Với những hàm số bậc hai đó, xác định a, b, c lần lượt là hệ số của x2, hệ số của x và hệ số tự do.

a) y = 8x2 – 6x + 1;

b) y = 2x + 2021.

Giải

a) Hàm số y = 8x2 – 6x + 1 là hàm số bậc hai có hệ số của x2 bằng 8, hệ số của x bằng – 6, hệ số tự do bằng 1.

b) Hàm số y = 2x + 2021 không phải là hàm số bậc hai.

b) Đồ thị hàm số bậc hai

* Đồ thị hàm số bậc hai \(y = f(x) = a{x^2} + bx + c\) \((a \ne 0)\) là một parabol (P): – Đỉnh \(S\left( { – \frac{b}{{2a}}; – \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\) – Trục đối xứng: đường thẳng \(x =  – \frac{b}{{2a}}\) – Bề lõm: quay lên trên nếu \(a > 0\), quay xuống dưới nếu \(a < 0\) – Cắt Oy tại điểm \((0;c)\)

* Chú ý: Nếu PT \(a{x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thì đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ lần lượt là 2 nghiệm này.

+) Vẽ đồ thị

1) Xác định đỉnh \(S\left( { – \frac{b}{{2a}}; – \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\)

2) Vẽ trục đối xứng d: \(x =  – \frac{b}{{2a}}\)

3) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị với trục tung (A(0;c)), trục hoành (nếu có).

Xác định \(B\left( {\frac{{ – b}}{a};c} \right)\) (là điểm đối xứng với A qua d)

4) Vẽ parabol đỉnh S, trục đối xứng d, đi qua các điểm tìm được.

+) Bảng biến thiên

Cho tam thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c\) với \(a \ne 0,\Delta  = {b^2} – 4ac.\)

+ \(\Delta  < 0\): f(x) cùng dấu với a, \(\forall x \in \mathbb{R}\)

+ \(\Delta  = 0\): f(x) cùng dấu với a, \(\forall x \in \mathbb{R}{\rm{\backslash }}\left\{ {\frac{{ – b}}{{2a}}} \right\}\)

+ \(\Delta  > 0\): f(x) có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}({x_1} < {x_2})\), khi đó

f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x thuộc các khoảng \(\left( { – \infty ;{x_1}} \right)\) và \(\left( {{x_2}; + \infty } \right)\);

f(x) trái dấu với hệ số a với mọi x thuộc khoảng \(\left( {{x_1};{x_2}} \right)\).

Nhận xét: Trong định lí, có thể thay biệt thức \(\Delta  = {b^2} – 4{\rm{a}}c\) bằng biệt thức thu gọn \(\Delta ‘ = {\left( {b’} \right)^2} – {\rm{a}}c\) với b = 2b’

a) Bất phương trình bậc hai một ẩn

+ Bất phương trình bậc hai ân x là bất phương trình có một trong các dạng sau: \(a{x^2} + bx + c < 0;a{x^2} + bx + c \le 0;a{x^2} + bx + c > 0;a{x^2} + bx + c \ge 0\) (\(a,b,c \in \mathbb{R};a \ne 0\)), trong đó a, b, c là các số thực đã cho, a \( \ne \) 0.

+ Đối với bất phương trình bậc hai có dạng \(a{x^2} + bx + c < 0\), mỗi số. xo \(\in\) R sao cho \(ax_0^2 + b{x_0} + c < 0\) được gọi là một nghiệm của bất phương trình đó.

Tập hợp các nghiệm x0 như thế còn được gọi là tập nghiệm của bất phương trình bậc hai đã cho.

Nghiệm và tập nghiệm của các dạng bất phương trình bậc hai ẩn x còn lại được đinh nghĩa tương tư.

Chú ý: Giải bất phương trình bậc hai ẩn x là đi tìm tập nghiệm của bất phương trình đó.

b) Giải bất phương trình bậc hai một ẩn

* Giải bằng cách xét dấu tam thức bậc hai

Bước 1: Xác định dấu của a và tìm nghiệm của f(x) (nếu có)

Bước 2: Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai để tìm tập hợp những giá trị x sao cho f(x) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

+ \(\Delta  < 0\): f(x) cùng dấu với a, \(\forall x \in \mathbb{R}\)

+ \(\Delta  = 0\): f(x) cùng dấu với a, \(\forall x \in \mathbb{R}{\rm{\backslash }}\left\{ {\frac{{ – b}}{{2a}}} \right\}\)

+ \(\Delta  < 0\): f(x) có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}({x_1} < {x_2})\)

* Giải bằng cách sử dụng đồ thị

+) Nghiệm của BPT \(a{x^2} + bx + c > 0\) là tập hợp x ứng với phần Parabol \(y = a{x^2} + bx + c\) nằm phía trên trục hoành.

+) Nghiệm của BPT \(a{x^2} + bx + c < 0\) là tập hợp x ứng với phần Parabol \(y = a{x^2} + bx + c\) nằm phía dưới trục hoành.

a) Phương trình dạng \(\sqrt{ax^{2}+bx+c}=\sqrt{dx^{2}+ex+f}\)

Để giải phương trình \(\sqrt{ax^{2}+bx+c}=\sqrt{dx^{2}+ex+f}\) ta làm như sau:

Bước 1: Bình phương hai về của phương trình để được phương trình \(a{x^2} + bx + c = d{x^2} + ex + f\)

Bước 2: Giải phương trình nhận được ở Bước 1

Bước 3: Thử lại xem các giả trị x tim được ở Bước 2 có thoả mãn phương trình đã cho hay không và kết luận nghiệm

b) Phương trình dạng \(\sqrt{ax^{2}+bx+c}= dx+e\)

Để giải phương trình \(\sqrt{ax^{2}+bx+c}= dx+e\), ta làm như sau:

Bước 1: Bình phương hai về của phương trình đề được phương trình \(a{x^2} + bx + c = {\left( {dx + e} \right)^2}\)

Bước 2: Giải phương trình nhận được ở Bước 1

Bước 3: Thử lại xem các giả trị x tìm được ở Bước 2 có thoả mãn phương trình đã cho hay không và kết luận nghiệm.