a) Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là bất phương trình có một trong các dạng \(ax + by \le c\;;ax + by \ge c;ax + by < c;ax + by > c\) trong đó a, b, c là những số cho trước, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn.

Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by < c (*).

Mỗi cặp số (x0; y0) sao cho ax0 + by0 < c được gọi là một nghiệm của bất phương trình (*).

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tập hợp các điểm có toạ độ là nghiệm của bất phương trình (*) được gọi là miền nghiệm của bất phương trình đó.

b) Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

* Mô tả miền nghiệm của BPT bậc nhất hai ẩn

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, đường thẳng d: ax + by = c chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng. Một trong hai nửa mặt phẳng (không kể d) là miễn nghiệm của bất phương trình ax + by < c, nửa mặt phẳng còn lại (không kể d) là miễn nghiệm của bất phương trình ax + by > c.

Chú ý: Đối với bất phương trình dạng ax + by \( \le \) c hoặc ax + by \( \ge \) c thì miễn nghiệm là nửa mặt phẳng kể cả đường thẳng d.

* Biểu diễn miền nghiệm của BPT bậc nhất hai ẩn

Bước 1: Vẽ đường thẳng \(d:ax + by = c\). Bước 2: Lấy \(M({x_0};{y_0})\) không thuộc \(d\). Tính \(a{x_0} + b{y_0}\) và so sánh với c. Bước 3: Kết luận – Nếu \(a{x_0} + b{y_0} < c\) thì nửa mặt phẳng (không kể d) chứa điểm \(M\)là miền nghiệm của bất phương trình đã cho. – Nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c > 0\) thì nửa mặt phẳng (không kể d) không chứa điểm \(M\)là miền nghiệm của bất phương trình đã cho.

* Chú ý:

–  Nếu \(c \ne 0\) ta thường chọn \(M\) là gốc tọa độ.

–  Nếu \(c = 0\) ta thường chọn \(M\) có tọa độ \((1;0)\) hoặc \((0;1).\)

– Với BPT \(a{x_0} + b{y_0} + c \le 0\) hoặc \(a{x_0} + b{y_0} + c \ge 0\) thì miền nhiệm là nửa mặt phẳng kể cả đường thẳng d.

a) Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

+) Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

+) Cặp số \(({x_0};{y_0})\) là nghiệm của một hệ BPT bậc nhất hai ẩn khi \(({x_0};{y_0})\) đồng thời là nghiệm của tất cả các BPT trong hệ đó.

b) Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ

Bước 1: Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình của hệ bằng cách gạch bỏ phần không thuộc miền nghiệm của nó.

Bước 2: Phần không bị gạch là miền nghiệm của hệ BPT.

c) Áp dụng vào bài toán thực tiễn

Cho hệ BPT bậc nhất hai ẩn x, y có miền nghiệm là miền đa giác \({A_1}{A_2}…{A_n}\).

Khi đó: Giá trị lớn nhất (hay nhỏ nhất) của biể thức \(T(x;y) = mx + ny\), với \((x;y)\) là tọa độ các điểm thuộc miền đa giác \({A_1}{A_2}…{A_n}\), đạt được tại một trong các đỉnh của đa giác đó.