a) Mệnh đề toán học

Mỗi mệnh đề toán học phải hoặc đúng hoặc sai. Một mệnh đề toán học không thể vừa đúng, vửa sai.

b) Mệnh đề chứa biến

Câu “chia hết cho 3” với n là số tự nhiên là một mệnh đề chứa biến.

Ta thường kí hiệu mệnh đề chứa biến n là P(n); mệnh đề chứa bgiến x, y là P(x; y);…

c) Phủ định của một mệnh đề

Cho mệnh đề P. Mệnh đề “Không phải P” được gọi là mệnh đề phủ định của mệnh đề P và kí hiệu là \(\overline P \). 

d) Mệnh đề kéo theo

Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu là \(P \Rightarrow Q\).

Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) sai hi P đúng, Q sai và đúng trong các trường hợp còn lại.

Nhận xét: 

Tuỳ theo nội dung cụ thể, đôi khi người ta còn phát biểu mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) là “P kéo theo Q” hay “P suy ra Q” hay “Vì P nên Q”…

Các định lí toán học là những mệnh đề đúng và thường phát biểu ở dạng mệnh đề kéo theo \(P \Rightarrow Q\). 

Khi đó ta nói: P là giả thiết, Q là kết luận của định lí, hay P là điều kiện đủ đề có Q, hoặc Q là điều kiện cần để có P.

e) Mệnh đề đảo. Hai mệnh đề tương đương

Mệnh đề \(Q \Rightarrow P\) được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề \(P \Rightarrow Q\). 

Nếu cả hai mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) và \(Q \Rightarrow P\) đều đúng thì ta nói P và Q là hai mệnh đề tương đương, kí hiệu \(P \Leftrightarrow Q\).

Trong toán học, những câu khẳng định đúng phát biểu ở dạng “\(P \Leftrightarrow Q\)” cũng được coi là một mệnh đề toán học, gọi là mệnh đề tương đương.

Nhận xét: Mệnh đề \(P \Leftrightarrow Q\) có thể phát biểu ở những dạng như sau:

• “P tương đương Q”;

• “P là điều kiện cận và đủ để có Q”;

• “P khi và chỉ khi Q”;

• “P nếu và chỉ nếu Q”.

f) Kí hiệu ∀ và ∃

Cho mệnh đề “P(x), x \( \in \) X”.

• Phủ định của mệnh đề \(\forall x \in X,P(x)\) là mệnh đề \(\exists x \in X,\overline {P(x)} \) 

• Phủ định của mệnh đề \(\exists x \in X,P(x)\) là mệnh đề \(\forall x \in X,\overline {P(x)} \) 

a) Tập con

Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B thì ta nói A là một tập con của B và viết là \(A \subset B\). Ta còn đọc là A chứa trong B.

Qui ước: Tập hợp rỗng \(\emptyset \) được coi là tập con của mọi tập hợp.

Chú ý: \(A \subset B \Leftrightarrow \left( {\forall x,x \in A \Rightarrow x \in B} \right).\)

Khi \(A \subset B\), ta cũng viết \(B \supset A\) (đọc là B chứa A)

Nếu A không phải là tập con của B, ta viết \(A \not\subset B\).

Ta có các tính chất sau:

• \(A \subset A\) với mọi tập hợp A;

• Nếu \(A \subset B\) và \(B \subset C\) thì \(A \subset C\)

*Tập hợp bằng nhau

Khi \(A \subset B\) và \(B \subset A\) thì ta nói hai tập hợp A và B bằng nhau, viết là A = B.

Chú ý: \(A = B \Leftrightarrow \left( {\forall x,x \in A \Leftrightarrow x \in B} \right)\). 

b) Giao của hai tập hợp

Tập hợp gồm tất cả các phần tử vừa thuộc tập hợp A vừa thuộc tập hợp B được gọi là giao của hai tập hợp A và B, kí hiệu \(A \cap B\).

Vậy \(A \cap B = {\rm{\{ x|x}} \in {\rm{A}}\) và \(x \in {\rm{B\} }}\)

Tập hợp \(A \cap B\) được minh họa bởi phần gạch chéo trong hình sau

Lưu ý: \(x \in A \cap B\) khi và chỉ khi \(x \in A\) và \(x \in B\)

c) Hợp của hai tập hợp

Tập hợp gồm các phần tử thuộc tập hợp A hoặc thuộc tập hợp B được gọi là hợp của hai tập hợp A và B, kí hiệu \(A \cup B\)

Vậy \(A \cup B\) = {x | x \(\in\) A hoặc x \(\in\) B}.

Tập hợp \(A \cup B\) được minh họa bởi phần gạch chéo trong hình sau

Lưu ý: \(x \in A \cup B\) khi và chỉ khi \(x \in A\) hoặc \(x \in B\)

d) Phần bù. Hiệu của hai tập hợp

– Cho tập hợp A là tập con của tập hợp B. Tập hợp những phần tử thuộc B mà không thuộc A được gọi là phần bù của A trong B, kí hiệu \({C_B}A\)

– Tập hợp gồm các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B được gọi là hiệu của A và B, kí hiệu A\B.

Vậy \(A\backslash B\) = {x | x \(\in\) A và x \(\notin\) B}.

Tập hợp \(A\backslash B\) được minh họa bởi phần gạch chéo trong hình sau

e) Các tập hợp số

Các tập hợp số đã học

Ta có quan hệ sau: \(N \subset Z \subset Q \subset R\)