Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) lần lượtcó các vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) ta có:  + \({\Delta _1}\) cắt \({\Delta _2}\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) không cùng phương. + \({\Delta _1}\) song song \({\Delta _2}\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương và có một điểm thuộc một đường thẳng mà không thuộc đường thẳng còn lại. + \({\Delta _1}\) trùng với \({\Delta _2}\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương và có một điểm thuộc cả hai đường thẳng đó.

Ví dụ: Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng \(\Delta 😡 – \sqrt 2 y + 4\sqrt 3  = 0\) và mỗi đường thẳng sau:

\(\begin{array}{l}
{\Delta _1}:\sqrt 3 x – \sqrt 6 y + 12 = 0;\\
{\Delta _2}:\sqrt 2 x – 2y = 0.
\end{array}\)

Giải

Vì \(\begin{array}{l}
x – \sqrt 2 y + 4\sqrt 3  = 0 \Leftrightarrow \sqrt 3 \left( {x – \sqrt 2 y + 4\sqrt 3 } \right) = 0\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \sqrt 3 x – \sqrt 6 y + 12 = 0.
\end{array}\)

Vậy \({{\Delta}}\) và \({{\Delta _1}}\) là một, tức là chúng trùng nhau. 

Hai đường thẳng \({{\Delta}}\) và \({{\Delta _2}}\) có hai vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \left( {1; – \sqrt 2 } \right)\) và \(\overrightarrow {{n_2}} \left( {\sqrt 2 ; – 2} \right)\) cùng phương. 

Do đó, chúng song song hoặc trùng nhau. Mặt khác, điểm O(0; 0) thuộc đường thẳng \({{\Delta _2}}\) nhưng không thuộc đường thẳng \({{\Delta}}\) nên hai đường thẳng này không trùng nhau.

Vậy \({{\Delta}}\) và \({{\Delta _2}}\) song song với nhau. 

– Hai đường thẳng cắt nhau tạo thành bốn góc, số đo của góc không tù được gọi là số đo góc (hay đơn giản là góc) giữa hai đường thẳng. – Góc giữa hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau được quy ước bằng 0°. – Cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\) và \({\Delta _2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\). Với các vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {{a_1};{b_1}} \right)\) và \(\overrightarrow {{n_2}} \left( {{a_2};{b_2}} \right)\) trong ứng. Khi đó, góc \(\varphi \) giữa hai đường thằng đó được xác định thông qua công thức \(cos\varphi  = \left| {cos\left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2} .\sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} }}\)

Chú ý

+ \({\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_1}}  \bot \overrightarrow {{n_2}}  \Leftrightarrow {a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} = 0\). 

+ Nếu \({\Delta _1},{\Delta _2}\) có các vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) thì góc \(\varphi \) giữa \({{\Delta _1}}\) Và \({{\Delta _2}}\) cũng được xác định thông qua công thứ \(cos\varphi  = \left| {cos\left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right|\)

Ví dụ: Tỉnh góc giữa hai đường thằng

\({\Delta _1}:\sqrt 3 x – y + 2 = 0\) và \({\Delta _2}:x – \sqrt 3 y – 2 = 0\). 

Giải

Vectơ pháp tuyến của \({{\Delta _1}}\) là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {\sqrt 3 ; – 1} \right)\), của \({{\Delta _2}}\) là \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1; – \sqrt 3 } \right)\).

Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng \({{\Delta _1}}\) và \({{\Delta _2}}\). Ta có

\(cos\varphi  = \left| {cos\left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {\sqrt 3 .1 + \left( { – 1} \right).\left( { – \sqrt 3 } \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( { – 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { – \sqrt 3 } \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)  

Do đó, góc giữa \({{\Delta _1}}\) và \({{\Delta _2}}\) là \(\varphi  = {30^0}\). 

Cho điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\). Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng \(\Delta \), kí hiệu là \(d\left( {M,\Delta } \right)\), được tính bởi công thức \(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Ví dụ: Tính khoảng cách từ điểm M(2; 4) đến đường thẳng \(\Delta :3x + 4y – 12 = 0.\) 

Giải

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng \(\Delta\), ta có

\(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.2 + 4.4 – 12} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \frac{{10}}{5} = 2\)

Vậy khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng \(\Delta\) là 2.