Ta có hai công thức khai triển sau:

\(\begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{l}} {{{\left( {a + b} \right)}^4} = {C_4}^0{a^4} + {C_4}^1{a^3}b + {C_4}^2{a^2}{b^2} + {C_4}^3a{b^3} + {C_4}^4{b^4}}\\ {\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}.} \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{l}} {{{\left( {a + b} \right)}^5} = {C_4}^0{a^5} + {C_5}^1{a^4}b + {C_5}^2{a^3}{b^2} + {C_5}^3{a^2}{b^3} + {C_5}^4a{b^4} + {C_5}^5{b^5}}\\ {\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}.} \end{array} \end{array}\)

Những công thức khai triển nói trên là công thức nhị thức Newton \({\left( {a + b} \right)^n}\) ứng với n=4; n=5.

Bằng cách như thế, ta có thể khai triển được \({\left( {a + b} \right)^n}\) với n là số nguyên dương lớn hơn 5.

Ví dụ: Khai triển các biểu thức sau:

\(\begin{array}{l}
a){\left( {x – 2y} \right)^4};\\
b){\left( {3x – y} \right)^5}.
\end{array}\)

Giải

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}
{\left( {x – 2y} \right)^4} = {\left[ {x + \left( { – 2y} \right)} \right]^4} = {x^4} + 4{x^3}\left( { – 2y} \right) + 6{x^2}{\left( { – 2y} \right)^2} + 4x{\left( { – 2y} \right)^3} + {\left( { – 2y} \right)^4}\\
 = {x^4} – 8{x^3}y + 24{x^2}{y^2} – 32x{y^3} + 16{y^4}
\end{array}\)

b) Ta có: 

\(\begin{array}{l}
{\left( {3x – y} \right)^5} = {\left[ {3x + \left( { – y} \right)} \right]^5}\\
 = {\left( {3x} \right)^5} + 5{\left( {3x} \right)^4}\left( { – y} \right) + 10{\left( {3x} \right)^3}{\left( { – y} \right)^2} + 10{\left( {3x} \right)^2}{\left( { – y} \right)^3} + 5\left( {3x} \right){\left( { – y} \right)^4} + {\left( { – y} \right)^5}\\
 = 243{x^5} – 405{x^4}{y^3} + 270{x^3}{y^2} – 90{x^2}{y^3} + 15x{y^4} – {y^5}.
\end{array}\)